Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
p = -5q + 16 e p = -q^2 + 10 (0 <= q <= 2.5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto de equilíbrio de mercado, que é onde a oferta e a demanda se encontram. Aqui estamos lidando com duas funções de preço em relação à quantidade :
Vamos precisar igualar essas duas equações para achar o valor de que faz o mercado equilibrar.

Passo 2

Primeiro, vamos igualar as duas expressões para para encontrar o valor de onde elas se encontram:

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para deixar tudo de um lado e igualar a zero. Isso nos ajuda a resolver mais facilmente:
Simplificando os números:

Passo 4

Para facilitar, vamos multiplicar todos os termos por para deixar a equação com o termo quadrático positivo:

Passo 5

Agora, temos uma equação quadrática na forma padrão . Vamos resolver para usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo esses valores:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 6

Agora, vamos verificar quais dessas soluções estão dentro do intervalo dado :
  • : Está fora do intervalo.
  • : Também está fora do intervalo.
Parece que cometemos um erro na organização da equação. Vamos revisar o Passo 3.

Passo 7

Vamos voltar e reorganizar corretamente a equação:
Adicionando e em ambos os lados:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 8

Agora, verificando as soluções no intervalo :
  • : Fora do intervalo.
  • : Dentro do intervalo.

Resposta

O ponto de equilíbrio de mercado ocorre quando . Para encontrar o preço correspondente:
Portanto, o ponto de equilíbrio é .

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