A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias. Precisamos entender por que essa integral é imprópria e, depois, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é considerada imprópria. Uma integral é imprópria quando ocorre algum problema no intervalo de integração ou na função integranda, como descontinuidades ou comportamentos infinitos.
No nosso caso, o integrando é
. Vamos analisar o comportamento dessa função nos limites de integração, ou seja, quando
se aproxima de
e de
.
- Quando
: , então . Como está no denominador, a função tende a infinito. - Quando
: e , então a função tende a 0.
Portanto, temos um comportamento infinito em
, o que torna a integral imprópria.
Passo 3
Agora, vamos transformar essa integral imprópria em uma integral limite para facilitar o cálculo. Como o problema ocorre em
, podemos escrever:
Isso nos permite trabalhar com uma integral própria e depois analisar o limite conforme
se aproxima de 0.
Passo 4
Para resolver a integral
, vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso simplifica a integral:
Passo 5
Agora, vamos integrar
:
Voltando à variável original
:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração à antiderivada encontrada. Lembrando que transformamos a integral em uma forma limite:
Vamos calcular isso passo a passo.
Passo 7
Primeiro, avaliamos a antiderivada em
:
Depois, avaliamos em
:
E agora, calculamos a diferença:
Passo 8
Agora, aplicamos o limite quando
se aproxima de 0:
Sabemos que
quando
está próximo de 0, então:
Portanto:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é 2.
Exercícios relacionados
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
e
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.