A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral imprópria para resolver:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x , dx
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com integrais impróprias. Precisamos entender por que essa integral é imprópria e, depois, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é considerada imprópria. Uma integral é imprópria quando ocorre algum problema no intervalo de integração ou na função integranda, como descontinuidades ou comportamentos infinitos.
No nosso caso, o integrando é . Vamos analisar o comportamento dessa função nos limites de integração, ou seja, quando se aproxima de e de .
  • Quando : , então . Como está no denominador, a função tende a infinito.
  • Quando : e , então a função tende a 0.
Portanto, temos um comportamento infinito em , o que torna a integral imprópria.

Passo 3

Agora, vamos transformar essa integral imprópria em uma integral limite para facilitar o cálculo. Como o problema ocorre em integral0^pi / 2 cos xraizsin x , dx = lima to 0^+ integrala^pi / 2 cos xraizsin x , dx , podemos escrever:
Isso nos permite trabalhar com uma integral própria e depois analisar o limite conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Para resolver a integral u = sin x Rightarrow du = cos x , dx , vamos usar uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
integral cos xraizsin x , dx = integral duraizu = integral u^-1/2 , du
Isso simplifica a integral:

Passo 5

Agora, vamos integrar integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C = 2raizu + C :
2raizu = 2raizsin x
Voltando à variável original :

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração à antiderivada encontrada. Lembrando que transformamos a integral em uma forma limite:
lima to 0^+ [ 2raizsin x ]a^pi / 2
Vamos calcular isso passo a passo.

Passo 7

Primeiro, avaliamos a antiderivada em 2raizsin ( pi2 ) = 2raiz1 = 2 :
2raizsin a
Depois, avaliamos em 2 - 2raizsin a :
E agora, calculamos a diferença:

Passo 8

Agora, aplicamos o limite quando lima to 0^+ ( 2 - 2raizsin a ) se aproxima de 0:
raizsin a approx raiza to 0 quando a to 0
Sabemos que 2 - 2raizsin a to 2 - 0 = 2 quando está próximo de 0, então:
Portanto:

Resposta

A integral imprópria
integral0^pi / 2 cos xraizsin x , dx
converge e seu valor é 2.

Exercícios relacionados

A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral1^infty 1x^3 / 2 d x
Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
p = -5q + 16 e p = -q^2 + 10 (0 <= q <= 2.5)
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral0^4 1x^4 d x.
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral-2^2 2 x d x(x^2-1)^1 / 3.