A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^infty 3 e^-6 x d x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa integral: . Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A integral é de 0 até o infinito, ou seja, está indo para um limite infinito. Isso já nos diz por que é uma integral imprópria: porque um dos limites de integração é infinito. Além disso, o integrando é uma função exponencial decrescente.

Passo 2

Agora, para resolver essa integral, precisamos saber como integrar funções exponenciais. A regra básica para integrar integral e^a x , dx = 1a e^a x + C em relação a é:
onde é uma constante e é a constante de integração. No nosso caso, a função é , então vamos aplicar essa regra.

Passo 3

Vamos integrar integral 3 e^-6x , dx = 3 integral e^-6x , dx = 3 ( 1-6 e^-6x ) + C = -12 e^-6x + C utilizando a regra mencionada:
Simplificando, temos que a antiderivada de é mais a constante de integração.

Passo 4

Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 0 até [ -12 e^-6x ]0^infty = limb to infty ( -12 e^-6b ) - ( -12 e^-6 cdot 0 ) . Então, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos o limite quando limb to infty -12 e^-6b = -12 cdot 0 = 0 tende ao infinito:
Isso porque se aproxima de 0 quando vai para o infinito.

Passo 6

Agora, calculamos a segunda parte da expressão:
- ( -12 e^0 ) = 12 cdot 1 = 12
Porque .

Resposta

Portanto, o valor da integral é .

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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^infty 21+x^2 d x
A função de demanda de um produto é dada por p = 44 - 2q. Determine o preço praticado para que a receita seja máxima.
Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
p = -5q + 16 e p = -q^2 + 10 (0 <= q <= 2.5)
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integral1^infty 1x^3 / 2 d x