A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa integral:
. Primeiro, vamos entender o que está acontecendo aqui. A integral é de 0 até o infinito, ou seja, está indo para um limite infinito. Isso já nos diz por que é uma integral imprópria: porque um dos limites de integração é infinito. Além disso, o integrando
é uma função exponencial decrescente.
Passo 2
Agora, para resolver essa integral, precisamos saber como integrar funções exponenciais. A regra básica para integrar
em relação a
é:
onde
é uma constante e
é a constante de integração. No nosso caso, a função é
, então vamos aplicar essa regra.
Passo 3
Vamos integrar
utilizando a regra mencionada:
Simplificando, temos que a antiderivada de
é
mais a constante de integração.
Passo 4
Agora, precisamos avaliar essa antiderivada nos limites de integração de 0 até
. Então, temos:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos o limite quando
tende ao infinito:
Isso porque
se aproxima de 0 quando
vai para o infinito.
Passo 6
Agora, calculamos a segunda parte da expressão:
Porque
.
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
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. Determine o preço praticado para que a receita seja máxima.
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e
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