A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^infty 21+x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma integral imprópria: . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais impróprias e a verificação da sua convergência. Para resolver, precisamos saber por que essa integral é imprópria e como avaliá-la.

Passo 2

Uma integral é considerada imprópria quando o intervalo de integração é infinito ou quando a função envolve alguma descontinuidade no intervalo. No nosso caso, o intervalo vai de a , ou seja, é infinito. Isso faz com que a integral seja imprópria.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, vamos reescrevê-la usando limites. Assim, transformamos a integral com limite infinito em um limite finito:
integral0^infty 21+x^2 dx = limb to infty integral0^b 21+x^2 dx
Isso facilita o cálculo, pois agora trabalhamos com limites finitos.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de integral0^b 21+x^2 dx = 2 integral0^b 11+x^2 dx a 2 [ arctan(x) ]0^b = 2 (arctan(b) - arctan(0)) :
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 5

Simplificando os valores dos limites:
arctan(0) = 0 e limb to infty arctan(b) = pi2
Substituindo na expressão:
2 ( pi2 - 0 ) = pi
Portanto, a integral converge para .

Resposta

A integral é imprópria devido ao limite infinito e converge para .

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