A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral1^infty 1x^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é . O que isso significa? Bem, uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, o limite superior é infinito, então precisamos verificar se a integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Vamos precisar usar o conceito de limite para avaliar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral com um limite finito em vez de infinito. Fazemos isso usando um limite quando integral1^infty 1x^3/2 , dx = limb to infty integral1^b 1x^3/2 , dx tende a infinito:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a antiderivada de integral x^-3/2 , dx = x^-3/2 + 1-3/2 + 1 = x^-1/2-1/2 = -2x^-1/2 = -2raizx . Lembrando que pode ser reescrito como . A antiderivada de é , desde que .

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a integral1^b 1x^3/2 , dx = [ -2raizx ]1^b = -2raizb - (-2raiz1) = -2raizb + 2 :

Passo 5

Finalmente, vamos calcular o limite quando limb to infty ( -2raizb + 2 ) = 0 + 2 = 2 tende a infinito:

Resposta

A integral imprópria converge e seu valor é 2.

Exercícios relacionados

Calcule o ponto de equilíbrio de mercado
p = -5q + 16 e p = -q^2 + 10 (0 <= q <= 2.5)
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^infty 3 e^-6 x d x.
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
integral0^4 1x^4 d x.