A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria que é
. O que isso significa? Bem, uma integral imprópria ocorre quando os limites de integração são infinitos ou quando a função tem algum ponto de descontinuidade no intervalo de integração. Aqui, o limite superior é infinito, então precisamos verificar se a integral converge, ou seja, se ela tem um valor finito. Vamos precisar usar o conceito de limite para avaliar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral com um limite finito em vez de infinito. Fazemos isso usando um limite quando
tende a infinito:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Lembrando que
pode ser reescrito como
. A antiderivada de
é
, desde que
.
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a
:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular o limite quando
tende a infinito:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é 2.
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
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Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
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