Determine o vilor de k para que a funçäo dada seja continua em (0, 0 ). Justifique sua resposta
f(x, y)= x y^3-2 y^21-raizy^2+1, & se (x, y) neq(0,0) 2 k-8, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . O que isso significa? Continuar significa que o limite da função quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de f(x, y) = x y^3 - 2 y^21 - raizy^2 + 1 quando se aproxima de , considerando a expressão dada para :

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos simplificar o denominador. Sabemos que para pequenos valores de raizy^2 + 1 approx 1 + y^22 - y^48 + dots , a expressão 1 - raizy^2 + 1 approx -y^22 + y^48 - dots pode ser aproximada usando uma expansão em série de Taylor:
1 - raizy^2 + 1 approx -y^22
Portanto,
Para simplificar, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de f(x, y) approx x y^3 - 2 y^2-y^22 = x y^3 - 2 y^2-y^22 = -2(x y^3 - 2 y^2)y^2 = -2x y^3 + 4 y^2y^2 :
f(x, y) approx -2x y + 4
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) approx lim(x, y) to (0, 0) (-2x y + 4) = -2 cdot 0 cdot 0 + 4 = 4 quando se aproxima de :

Passo 6

Para que a função seja contínua em 4 = 2k - 8 , o limite que encontramos deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Resposta

Resolvendo a equação 2k = 4 + 8 2k = 12 k = 6 :
Então, o valor de que torna a função contínua em é 6.

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