Determine o vilor de k para que a funçäo dada seja continua em (0, 0 ). Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . O que isso significa? Continuar significa que o limite da função quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de , considerando a expressão dada para :

Passo 3

Para facilitar o cálculo do limite, vamos simplificar o denominador. Sabemos que para pequenos valores de , a expressão pode ser aproximada usando uma expansão em série de Taylor:
Portanto,
Para simplificar, podemos considerar apenas os primeiros termos:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão de :
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de :

Passo 6

Para que a função seja contínua em , o limite que encontramos deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Resposta

Resolvendo a equação :
Então, o valor de que torna a função contínua em é 6.

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