Determine o vilor de k para que a funçäo dada seja continua em (0, 0 ). Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto . O que isso significa? Continuar significa que o limite da função quando se aproxima de tem que ser igual ao valor da função nesse ponto, que é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites em funções de várias variáveis e propriedades de funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de , considerando a expressão dada para :
Passo 3
Para facilitar o cálculo do limite, vamos simplificar o denominador. Sabemos que para pequenos valores de , a expressão pode ser aproximada usando uma expansão em série de Taylor:
Portanto,
Para simplificar, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão de :
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Passo 6
Para que a função seja contínua em , o limite que encontramos deve ser igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Resposta
Resolvendo a equação :
Então, o valor de que torna a função contínua em é 6.