Calcule: (1,5 ponto ) lim x, y) (0,1) pi(y-1)^2x^2-(y-1)^4

Passo 1

Vamos calcular o limite lim x, y (0,1) pi(y-1)^2x^2-(y-1)^4. Esse problema envolve limites de funções de duas variáveis, uma parte do cálculo que estuda como uma função se comporta quando suas duas variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver, vamos analisar o comportamento da função conforme (x, y) se aproxima de (0, 1) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente os valores de (x, y) = (0,1) na função:
pi(1-1)^20^2 - (1-1)^4 = 00
Encontramos uma forma indeterminada ( 00), o que significa que precisamos investigar mais a fundo para determinar o valor do limite.

Passo 3

Para resolver limites de funções de duas variáveis, é útil analisar o limite por diferentes caminhos de aproximação. Se obtivermos resultados diferentes por caminhos distintos, isso indica que o limite não existe.
Vamos considerar dois caminhos:
  1. Caminho Vertical ( x = 0):
    Substituindo x = 0 na função:
    pi(y-1)^20^2 - (y-1)^4 = pi(y-1)^2-(y-1)^4 = -pi cdot 1(y-1)^2
    À medida que y 1, (y-1)^2 0, então 1(y-1)^2 infty. Portanto, o limite tende a -infty.
  2. Caminho Horizontal ( y = 1):
    Substituindo y = 1 na função:
    pi(1-1)^2x^2 - (1-1)^4 = 0x^2 = 0
    Aqui, o limite é claramente 0.

Passo 4

Observamos que ao nos aproximarmos de (0,1) pelo caminho vertical ( x = 0), o limite é -infty, enquanto pelo caminho horizontal ( y = 1), o limite é 0. Como os resultados são diferentes, concluímos que o limite depende do caminho de aproximação.

Resposta

O limite não existe, pois assume valores diferentes dependendo do caminho de aproximação.

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