Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, onde trabalhamos com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. A função
é composta por dois fatores:
e
. Pela regra do produto, a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 3
Vamos derivar
em relação a
. Como
é tratado como uma constante, a derivada de
em relação a
é simplesmente
.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia: a derivada de
é
, onde
.
Passo 5
Calculando
, a derivada de
em relação a
:
Então, a derivada da função logarítmica é:
Passo 6
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 7
Vamos simplificar esse termo:
Podemos fatorar
no numerador da segunda fração:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do produto:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Fatorando
no numerador da segunda fração:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e