Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso está dentro da matéria de cálculo diferencial, onde trabalhamos com derivadas parciais de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . A função é composta por dois fatores: e . Pela regra do produto, a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 3

Vamos derivar em relação a . Como é tratado como uma constante, a derivada de em relação a é simplesmente .

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde .

Passo 5

Calculando , a derivada de em relação a :
Então, a derivada da função logarítmica é:

Passo 6

Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 7

Vamos simplificar esse termo:
Podemos fatorar no numerador da segunda fração:
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do produto:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Fatorando no numerador da segunda fração:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

Exercícios relacionados

Determine o vilor de k para que a funçäo dada seja continua em (0, 0 ). Justifique sua resposta
Calcule: ponto
Determine as derivadas parciais das funçōes a seguir:
Connldere in funghan
c) Estroce a ifrifica de