Calcule o ponto
do plano
para que a soma de suas distâncias aos pontos
e
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um ponto
que está no plano
e que minimize a soma das distâncias desse ponto
aos dois pontos dados
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a ideia de refletir um ponto em relação a um plano para facilitar o cálculo da distância mínima.
Passo 2
Primeiro, vamos refletir um dos pontos em relação ao plano dado. Vamos escolher refletir o ponto
no plano
. A reflexão de um ponto em relação a um plano nos dá um ponto simétrico do original, facilitando a determinação do ponto
que minimiza a soma das distâncias.
Passo 3
Para refletir o ponto
em relação ao plano, usamos a fórmula da reflexão. A fórmula para refletir um ponto
em relação a um plano
é:
Aplicando isso ao ponto
e ao plano
, temos:
Primeiro, calculamos
:
Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 4
Agora que temos o ponto refletido
, a próxima etapa é encontrar a reta que conecta o ponto
ao ponto refletido
. Essa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:
Ou seja:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o valor de
para o qual esse ponto
está no plano
. Substituímos as equações paramétricas na equação do plano:
Vamos resolver isso:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de
:
Resposta
O ponto
que minimiza a soma das distâncias é
.