Calcule o ponto P do plano 2 x-3 y+3 z-17=0 para que a soma de suas distâncias aos pontos (3,-4,7) e (-5,-14,17) seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar um ponto que está no plano e que minimize a soma das distâncias desse ponto aos dois pontos dados e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a ideia de refletir um ponto em relação a um plano para facilitar o cálculo da distância mínima.

Passo 2

Primeiro, vamos refletir um dos pontos em relação ao plano dado. Vamos escolher refletir o ponto no plano . A reflexão de um ponto em relação a um plano nos dá um ponto simétrico do original, facilitando a determinação do ponto que minimiza a soma das distâncias.

Passo 3

Para refletir o ponto B' = ( x0 - 2A(Ax0 + By0 + Cz0 + D)A^2 + B^2 + C^2, y0 - 2B(Ax0 + By0 + Cz0 + D)A^2 + B^2 + C^2, z0 - 2C(Ax0 + By0 + Cz0 + D)A^2 + B^2 + C^2 ) em relação ao plano, usamos a fórmula da reflexão. A fórmula para refletir um ponto A = 2, B = -3, C = 3, D = -17 em relação a um plano 2(-5) + (-3)(-14) + 3(17) - 17 = -10 + 42 + 51 - 17 = 66 é:
B' = ( -5 - 2 times 2 times 662^2 + (-3)^2 + 3^2, -14 - 2 times (-3) times 662^2 + (-3)^2 + 3^2, 17 - 2 times 3 times 662^2 + (-3)^2 + 3^2 )
Aplicando isso ao ponto 2^2 + (-3)^2 + 3^2 = 4 + 9 + 9 = 22 e ao plano B' = ( -5 - 26422, -14 - -39622, 17 - 39622 ) = ( -5 - 12, -14 + 18, 17 - 18 ) = (-17, 4, -1) , temos:
Primeiro, calculamos :
Agora, aplicamos na fórmula:
Calculando o denominador:
Então:

Passo 4

Agora que temos o ponto refletido r(t) = A + t(B' - A) = (3, -4, 7) + t(-20, 8, -8) , a próxima etapa é encontrar a reta que conecta o ponto x = 3 - 20t, y = -4 + 8t, z = 7 - 8t ao ponto refletido . Essa reta pode ser parametrizada da seguinte forma:
Ou seja:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o valor de 2(3 - 20t) - 3(-4 + 8t) + 3(7 - 8t) - 17 = 0 para o qual esse ponto 6 - 40t + 12 - 24t + 21 - 24t - 17 = 0 está no plano (6 + 12 + 21 - 17) + (-40t - 24t - 24t) = 0 . Substituímos as equações paramétricas na equação do plano:
22 - 88t = 0
Vamos resolver isso:
-88t = -22
t = 2288 = 14

Passo 6

Agora que temos x = 3 - 20 times 14 = 3 - 5 = -2 , substituímos de volta nas equações paramétricas para encontrar as coordenadas de y = -4 + 8 times 14 = -4 + 2 = -2 :
z = 7 - 8 times 14 = 7 - 2 = 5

Resposta

O ponto que minimiza a soma das distâncias é .

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