Resolva o SEL abaixo utilizando aritmética de truncamento de três algarismos e a eliminação de Gauss com: (b): Pivoteamento Parcial com Escala.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro incógnitas usando a Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial e Escala. Além disso, vamos fazer todas as contas truncando para três algarismos. Primeiro, vamos entender o que temos:
Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e seguir os passos da eliminação para encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, transformamos o sistema em uma matriz aumentada:
Como vamos truncar para três algarismos, já está preparado para começar os cálculos.
Passo 3
Vamos iniciar a eliminação começando pela primeira coluna. Para isso, usamos o pivoteamento parcial com escala. Isso significa que vamos escolher a linha com o maior valor relativo na coluna do pivô para evitar erros numéricos.
Calculamos os fatores de escala dividindo o valor absoluto do elemento da coluna do pivô pelo maior valor absoluto em cada linha:
- Linha 1:
- Linha 2:
- Linha 3:
- Linha 4:
Os maiores fatores são na Linha 2 e Linha 4. Vamos escolher a Linha 2 como nossa linha pivô.
Passo 4
Agora, trocamos a Linha 1 com a Linha 2 para colocar o melhor pivô no topo:
Passo 5
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Nosso pivô é 14.2 na posição (1,1).
- Para a Linha 2:
- Fator
→ truncado parax2 &= 1.19 - (0.083 times 14.2) = 1.19 - 1.1786 approx 0.011 x2 &= 2.11 - (0.083 times -0.122) = 2.11 + 0.0101 approx 2.120 x3 &= -100 - (0.083 times 12.2) = -100 - 1.0146 approx -101.014 x4 &= 1 - (0.083 times -1) = 1 + 0.083 approx 1.083 RHS &= 1.11 - (0.083 times 3.41) = 1.11 - 0.283 approx 0.827 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 15.3 & 0.110 & -13.1 & -1 & | & 4.14 - Nova Linha 2 = Linha 2 -
Linha 1
- Fator
Truncando para três algarismos:
Passo 6
-
Para a Linha 3:
- Fator
x1 &= 15.3 - (1.07 times 14.2) = 15.3 - 15.134 approx 0.166 x2 &= 0.110 - (1.07 times -0.122) = 0.110 + 0.1306 approx 0.240 x3 &= -13.1 - (1.07 times 12.2) = -13.1 - 13.074 approx -26.174 x4 &= -1 - (1.07 times -1) = -1 + 1.07 approx 0.070 RHS &= 4.14 - (1.07 times 3.41) = 4.14 - 3.64 approx 0.500 - Não precisamos alterar a Linha 3.
- Fator
-
Para a Linha 4:
- Fator
→ truncado para14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500 - Nova Linha 4 = Linha 4 -
Linha 1
- Fator
Truncando para três algarismos:
Passo 7
Agora, vamos para a segunda coluna. Primeiro, identificamos o pivô na segunda coluna das linhas abaixo. Calculamos os fatores de escala novamente:
- Linha 2:
14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500 - Linha 3:
- Linha 4:
O maior fator é na Linha 3. Vamos trocar a Linha 2 com a Linha 3:
Passo 8
Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna (100 na posição (2,2)).
- Para a Linha 3:
- Fator
→ truncado parax1 &= 0.011 - (0.021 times 0) = 0.011 x2 &= 2.120 - (0.021 times 100) = 2.120 - 2.100 = 0.020 x3 &= -101.014 - (0.021 times -99.9) = -101.014 + 2.0979 approx -98.916 x4 &= 1.083 - (0.021 times 1) = 1.083 - 0.021 = 1.062 RHS &= 0.827 - (0.021 times 2.13) = 0.827 - 0.0447 approx 0.782 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 0.020 & -98.916 & 1.062 & | & 0.782 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500 - Nova Linha 3 = Linha 3 -
Linha 2x1 &= 0.166 - (0.002 times 0) = 0.166 x2 &= 0.240 - (0.002 times 100) = 0.240 - 0.200 = 0.040 x3 &= -26.174 - (0.002 times -99.9) = -26.174 + 0.200 approx -25.974 x4 &= 0.070 - (0.002 times 1) = 0.070 - 0.002 = 0.068 RHS &= 0.500 - (0.002 times 2.13) = 0.500 - 0.004 = 0.496
- Fator
Truncando para três algarismos:
- Para a Linha 4:
- Fator
→ truncado para - Nova Linha 4 = Linha 4 -
Linha 2
- Fator
Truncando para três algarismos:
Passo 9
Agora, vamos para a terceira coluna. Identificamos o pivô na terceira coluna das linhas abaixo. Calculamos os fatores de escala:
- Linha 3:
- Linha 4:
Como os fatores são iguais, podemos escolher a Linha 3 como pivô.
Passo 10
Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna (≈ -98.916 na posição (3,3)).
- Para a Linha 4:
- Fator
→ truncado parax1 &= 0.166 - (0.263 times 0.011) approx 0.166 - 0.003 approx 0.163 x2 &= 0.040 - (0.263 times 0.020) = 0.040 - 0.005 = 0.035 x3 &= -25.974 - (0.263 times -98.916) = -25.974 + 26.000 approx 0.026 x4 &= 0.068 - (0.263 times 1.062) = 0.068 - 0.279 approx -0.211 RHS &= 0.496 - (0.263 times 0.782) = 0.496 - 0.206 approx 0.290 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 0.020 & -98.916 & 1.062 & | & 0.782 0.163 & 0.035 & 0.026 & -0.211 & | & 0.290 - Nova Linha 4 = Linha 4 -
Linha 3
- Fator
Truncando para três algarismos:
Passo 11
Agora que temos uma matriz triangular superior, vamos resolver pelo método de substituição retroativa.
-
Da Linha 4:
0.026,x3 - 0.211,x4 = 0.290 Resolvendo para :x3 = 0.290 + 0.211,x40.026 approx 0.290 + 0.211,x40.026 -98.916,x3 + 1.062,x4 = 0.782 Mas como ainda não foi definido, precisamos de mais informações das outras equações. Vamos simplificar e seguir para encontrar os valores.x3 = 1.062,x4 - 0.78298.916 -
Da Linha 3:
100,x2 - 99.9,x3 + x4 = 2.13 Isolando :100,x2 - 99.9(1.062,x4 - 0.78298.916) + x4 = 2.13 -
Da Linha 2:Substituindo
da Linha 3:Vamos resolver isso passo a passo para encontrar e , e assim por diante.
Passo 12
Após resolver todas as equações pela substituição retroativa e truncar os resultados para três algarismos, chegamos aos valores das incógnitas:
Resposta
As soluções do sistema são aproximadamente: