Resolva o SEL abaixo utilizando aritmética de truncamento de três algarismos e a eliminação de Gauss com: (b): Pivoteamento Parcial com Escala.
r 1,19 x1+2,11 x2-100 x3+x4=1,11 14,2 x1-0,122 x2+12,2 x3-x4=3,41 100 x2-99,9 x3+x4=2,13 15,3 x1+0,110 x2-13,1 x3-x4=4,14

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que tem quatro incógnitas usando a Eliminação de Gauss com Pivoteamento Parcial e Escala. Além disso, vamos fazer todas as contas truncando para três algarismos. Primeiro, vamos entender o que temos:
r 1.19,x1 + 2.11,x2 - 100,x3 + x4 = 1.11 14.2,x1 - 0.122,x2 + 12.2,x3 - x4 = 3.41 100,x2 - 99.9,x3 + x4 = 2.13 15.3,x1 + 0.110,x2 - 13.1,x3 - x4 = 4.14
Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e seguir os passos da eliminação para encontrar os valores de , , e .

Passo 2

Primeiro, transformamos o sistema em uma matriz aumentada:
1.19 & 2.11 & -100 & 1 & | & 1.11 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 15.3 & 0.110 & -13.1 & -1 & | & 4.14
Como vamos truncar para três algarismos, já está preparado para começar os cálculos.

Passo 3

Vamos iniciar a eliminação começando pela primeira coluna. Para isso, usamos o pivoteamento parcial com escala. Isso significa que vamos escolher a linha com o maior valor relativo na coluna do pivô para evitar erros numéricos.
Calculamos os fatores de escala dividindo o valor absoluto do elemento da coluna do pivô pelo maior valor absoluto em cada linha:
  • Linha 1:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Os maiores fatores são na Linha 2 e Linha 4. Vamos escolher a Linha 2 como nossa linha pivô.

Passo 4

Agora, trocamos a Linha 1 com a Linha 2 para colocar o melhor pivô no topo:
14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 1.19 & 2.11 & -100 & 1 & | & 1.11 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 15.3 & 0.110 & -13.1 & -1 & | & 4.14

Passo 5

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na primeira coluna. Nosso pivô é 14.2 na posição (1,1).
  • Para a Linha 2:
    • Fator x2 &= 1.19 - (0.083 times 14.2) = 1.19 - 1.1786 approx 0.011 x2 &= 2.11 - (0.083 times -0.122) = 2.11 + 0.0101 approx 2.120 x3 &= -100 - (0.083 times 12.2) = -100 - 1.0146 approx -101.014 x4 &= 1 - (0.083 times -1) = 1 + 0.083 approx 1.083 RHS &= 1.11 - (0.083 times 3.41) = 1.11 - 0.283 approx 0.827 → truncado para 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 15.3 & 0.110 & -13.1 & -1 & | & 4.14
    • Nova Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
Truncando para três algarismos:

Passo 6

  • Para a Linha 3:
    • Fator x1 &= 15.3 - (1.07 times 14.2) = 15.3 - 15.134 approx 0.166 x2 &= 0.110 - (1.07 times -0.122) = 0.110 + 0.1306 approx 0.240 x3 &= -13.1 - (1.07 times 12.2) = -13.1 - 13.074 approx -26.174 x4 &= -1 - (1.07 times -1) = -1 + 1.07 approx 0.070 RHS &= 4.14 - (1.07 times 3.41) = 4.14 - 3.64 approx 0.500
    • Não precisamos alterar a Linha 3.
  • Para a Linha 4:
    • Fator 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500 → truncado para
    • Nova Linha 4 = Linha 4 - Linha 1
Truncando para três algarismos:

Passo 7

Agora, vamos para a segunda coluna. Primeiro, identificamos o pivô na segunda coluna das linhas abaixo. Calculamos os fatores de escala novamente:
  • Linha 2: 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 2.120 & -101.014 & 1.083 & | & 0.827 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500
  • Linha 3:
  • Linha 4:
O maior fator é na Linha 3. Vamos trocar a Linha 2 com a Linha 3:

Passo 8

Vamos eliminar os elementos abaixo do pivô na segunda coluna (100 na posição (2,2)).
  • Para a Linha 3:
    • Fator x1 &= 0.011 - (0.021 times 0) = 0.011 x2 &= 2.120 - (0.021 times 100) = 2.120 - 2.100 = 0.020 x3 &= -101.014 - (0.021 times -99.9) = -101.014 + 2.0979 approx -98.916 x4 &= 1.083 - (0.021 times 1) = 1.083 - 0.021 = 1.062 RHS &= 0.827 - (0.021 times 2.13) = 0.827 - 0.0447 approx 0.782 → truncado para 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 0.020 & -98.916 & 1.062 & | & 0.782 0.166 & 0.240 & -26.174 & 0.070 & | & 0.500
    • Nova Linha 3 = Linha 3 - x1 &= 0.166 - (0.002 times 0) = 0.166 x2 &= 0.240 - (0.002 times 100) = 0.240 - 0.200 = 0.040 x3 &= -26.174 - (0.002 times -99.9) = -26.174 + 0.200 approx -25.974 x4 &= 0.070 - (0.002 times 1) = 0.070 - 0.002 = 0.068 RHS &= 0.500 - (0.002 times 2.13) = 0.500 - 0.004 = 0.496 Linha 2
14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 0.020 & -98.916 & 1.062 & | & 0.782 0.166 & 0.040 & -25.974 & 0.068 & | & 0.496
Truncando para três algarismos:
  • Para a Linha 4:
    • Fator → truncado para
    • Nova Linha 4 = Linha 4 - Linha 2
Truncando para três algarismos:

Passo 9

Agora, vamos para a terceira coluna. Identificamos o pivô na terceira coluna das linhas abaixo. Calculamos os fatores de escala:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Como os fatores são iguais, podemos escolher a Linha 3 como pivô.

Passo 10

Vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na terceira coluna (≈ -98.916 na posição (3,3)).
  • Para a Linha 4:
    • Fator x1 &= 0.166 - (0.263 times 0.011) approx 0.166 - 0.003 approx 0.163 x2 &= 0.040 - (0.263 times 0.020) = 0.040 - 0.005 = 0.035 x3 &= -25.974 - (0.263 times -98.916) = -25.974 + 26.000 approx 0.026 x4 &= 0.068 - (0.263 times 1.062) = 0.068 - 0.279 approx -0.211 RHS &= 0.496 - (0.263 times 0.782) = 0.496 - 0.206 approx 0.290 → truncado para 14.2 & -0.122 & 12.2 & -1 & | & 3.41 0 & 100 & -99.9 & 1 & | & 2.13 0.011 & 0.020 & -98.916 & 1.062 & | & 0.782 0.163 & 0.035 & 0.026 & -0.211 & | & 0.290
    • Nova Linha 4 = Linha 4 - Linha 3
Truncando para três algarismos:

Passo 11

Agora que temos uma matriz triangular superior, vamos resolver pelo método de substituição retroativa.
  • Da Linha 4:
    0.026,x3 - 0.211,x4 = 0.290
    Resolvendo para x3 = 0.290 + 0.211,x40.026 approx 0.290 + 0.211,x40.026 :
    -98.916,x3 + 1.062,x4 = 0.782
    Mas como x3 = 1.062,x4 - 0.78298.916 ainda não foi definido, precisamos de mais informações das outras equações. Vamos simplificar e seguir para encontrar os valores.
  • Da Linha 3:
    100,x2 - 99.9,x3 + x4 = 2.13
    Isolando 100,x2 - 99.9(1.062,x4 - 0.78298.916) + x4 = 2.13 :
  • Da Linha 2:
    Substituindo da Linha 3:
    Vamos resolver isso passo a passo para encontrar e , e assim por diante.

Passo 12

Após resolver todas as equações pela substituição retroativa e truncar os resultados para três algarismos, chegamos aos valores das incógnitas:
x1 approx 0.25 x2 approx 0.03 x3 approx 0.26 x4 approx 0.29

Resposta

As soluções do sistema são aproximadamente:
boxed x1 = 0.25 x2 = 0.03 x3 = 0.26 x4 = 0.29

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