Encontre uma equação cartesiana do plano determinado pelas retas paralelas
X=(2+3 t,-1+2 t, 3-2 t) e X=(1+3 t, 2+2 t,-3-2 t), t in R

Passo 1

Então, o que a gente precisa aqui é encontrar uma equação cartesiana de um plano que é determinado por duas retas que são paralelas. As retas são dadas por:
X = (2 + 3t, -1 + 2t, 3 - 2t) e X = (1 + 3t, 2 + 2t, -3 - 2t), t in R
Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para achar essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos perceber que as duas retas são paralelas porque os vetores diretores delas são iguais. O vetor diretor de ambas as retas é (3, 2, -2). Isso significa que elas nunca se encontram e estão na mesma direção.

Passo 3

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que estão no plano. Vamos escolher um ponto de cada reta para facilitar.
Vamos chamar de P = (2, -1, 3) o ponto da primeira reta quando Q = (1, 2, -3) :
E de o ponto da segunda reta quando :

Passo 4

Agora, precisamos de um vetor que vai de PQ = Q - P = (1 - 2, 2 - (-1), -3 - 3) = (-1, 3, -6) até . Esse vetor é:

Passo 5

Sabemos que o plano é determinado pelo vetor diretor das retas n = (3, 2, -2) times (-1, 3, -6) e pelo vetor nx = (2)(-6) - (-2)(3) = -12 + 6 = -6 . Para achar a normal do plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
ny = -[(3)(-6) - (-2)(-1)] = -[-18 - 2] = -[-20] = 20
Vamos calcular isso:
nz = (3)(3) - (2)(-1) = 9 + 2 = 11
n = (-6, 20, 11)
Então, o vetor normal é:

Passo 6

Com o vetor normal do plano n cdot (X - P) = 0 e um ponto no plano, por exemplo -6(x - 2) + 20(y + 1) + 11(z - 3) = 0 , podemos usar a equação geral do plano:
Isso se traduz em:

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
-6x + 12 + 20y + 20 + 11z - 33 = 0
Combine os termos constantes:
-6x + 20y + 11z - 1 = 0
Ou, de forma mais comum:
6x - 20y - 11z + 1 = 0

Resposta

A equação cartesiana do plano é:
6x - 20y - 11z + 1 = 0

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