Encontre uma equação cartesiana do plano determinado pelas retas paralelas
Passo 1
Então, o que a gente precisa aqui é encontrar uma equação cartesiana de um plano que é determinado por duas retas que são paralelas. As retas são dadas por:
Vamos usar conhecimentos de geometria analítica para achar essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos perceber que as duas retas são paralelas porque os vetores diretores delas são iguais. O vetor diretor de ambas as retas é
. Isso significa que elas nunca se encontram e estão na mesma direção.
Passo 3
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores que estão no plano. Vamos escolher um ponto de cada reta para facilitar.
Vamos chamar de
o ponto da primeira reta quando
:
E de
o ponto da segunda reta quando
:
Passo 4
Agora, precisamos de um vetor que vai de
até
. Esse vetor é:
Passo 5
Sabemos que o plano é determinado pelo vetor diretor das retas
e pelo vetor
. Para achar a normal do plano, vamos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
Vamos calcular isso:
Então, o vetor normal é:
Passo 6
Com o vetor normal do plano
e um ponto no plano, por exemplo
, podemos usar a equação geral do plano:
Isso se traduz em:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Combine os termos constantes:
Ou, de forma mais comum:
Resposta
A equação cartesiana do plano é: