Mostre que o plano
é tangente à esfera
e determine o ponto de tangência correspondente.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o plano
é tangente à esfera
e encontrar o ponto onde o plano toca a esfera. Para isso, vamos precisar calcular a distância do centro da esfera até o plano e verificar se essa distância é igual ao raio da esfera.
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o centro e o raio da esfera. A equação da esfera é
, o que significa que o centro
está na origem
e o raio
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância
do centro da esfera ao plano
. A fórmula para a distância de um ponto
a um plano
é:
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
e o ponto
, temos:
Passo 5
Comparamos a distância
com o raio da esfera
. Como
, isso confirma que o plano é tangente à esfera.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o ponto de tangência
. Para isso, usamos a projeção do centro da esfera no plano. A fórmula para o ponto de tangência é:
onde
é o vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano
é
. A norma de
é:
Então, o vetor normalizado é:
Agora, calculamos o ponto de tangência:
Resposta
O ponto de tangência é
.