Mostre que o plano 2 x-6 y+3 z-49=0 é tangente à esfera x^2+y^2+z^2=49 e determine o ponto de tangência correspondente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que o plano é tangente à esfera e encontrar o ponto onde o plano toca a esfera. Para isso, vamos precisar calcular a distância do centro da esfera até o plano e verificar se essa distância é igual ao raio da esfera.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o centro e o raio da esfera. A equação da esfera é , o que significa que o centro está na origem e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância d = |A x0 + B y0 + C z0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 do centro da esfera ao plano . A fórmula para a distância de um ponto a um plano é:

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
A = 2, B = -6, C = 3, D = -49
e o ponto d = |2(0) + (-6)(0) + 3(0) - 49|raiz2^2 + (-6)^2 + 3^2 = |-49|raiz4 + 36 + 9 = 49raiz49 = 497 = 7 , temos:

Passo 5

Comparamos a distância com o raio da esfera . Como , isso confirma que o plano é tangente à esfera.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ponto de tangência P = C - d cdot n|n| . Para isso, usamos a projeção do centro da esfera no plano. A fórmula para o ponto de tangência é:
|n| = raiz2^2 + (-6)^2 + 3^2 = raiz4 + 36 + 9 = raiz49 = 7
onde n|n| = ( 27, -67, 37 ) é o vetor normal ao plano.
O vetor normal ao plano P = (0, 0, 0) - 7 cdot ( 27, -67, 37 ) = ( -2, 6, -3 ) é . A norma de é:
Então, o vetor normalizado é:
Agora, calculamos o ponto de tangência:

Resposta

O ponto de tangência é .

Exercícios relacionados