Dados o ponto P=(2,-1,3) e a reta L: X=(3 t,-7+5 t, 2+2 t), t in R, considere a distância d(P, X), com X in L.
Mostre que o vetor M P é ortogonal à reta L;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá um ponto e uma reta definida por , onde é um número real. A gente precisa mostrar que o vetor é ortogonal à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, especificamente a ideia de vetores ortogonais e produtos escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o vetor M = (3t, -7 + 5t, 2 + 2t) . Nesse caso, MP = P - M = (2 - 3t, -1 - (-7 + 5t), 3 - (2 + 2t)) = (2 - 3t, 6 - 5t, 1 - 2t) é um ponto qualquer na reta . Vamos expressar em termos de :
Então, o vetor é a diferença entre as coordenadas de e :

Passo 3

Agora, precisamos identificar a direção da reta d = (3, 5, 2) . A reta está parametrizada por , então o vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de nas coordenadas de :

Passo 4

Para mostrar que MP cdot d = 0 é ortogonal à reta , a gente verifica se o vetor é perpendicular ao vetor diretor . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles é zero. Ou seja, queremos que:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar:
MP cdot d = (2 - 3t) cdot 3 + (6 - 5t) cdot 5 + (1 - 2t) cdot 2
Resolvendo cada parte:
= 3(2 - 3t) + 5(6 - 5t) + 2(1 - 2t)
= 6 - 9t + 30 - 25t + 2 - 4t
= (6 + 30 + 2) + (-9t - 25t - 4t)
= 38 - 38t

Passo 6

Para que o produto escalar seja zero:
38 - 38t = 0
Resolvendo para 38t = 38 implies t = 1 :

Passo 7

Isso significa que para , o vetor é ortogonal ao vetor diretor . Logo, o vetor é perpendicular à reta no ponto correspondente a .

Resposta

O vetor é ortogonal à reta quando , ou seja, o vetor é perpendicular à reta .

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