Seja
b) Mostre que
não é diferenciável em
.
b) Mostre que
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto
é
ou não. A tarefa é mostrar que essa função não é diferenciável no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente sobre diferenciabilidade e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que uma função é diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em
se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Matemáticamente, isso significa que:
onde
é uma função linear. Se esse limite não existe ou não é zero, a função não é diferenciável naquele ponto.
Passo 3
No nosso caso, queremos analisar a diferenciabilidade em
. Então, vamos olhar para a definição:
Já que
. Se esse limite não existir ou não for zero, então
não é diferenciável em
.
Passo 4
Vamos substituir a expressão de
quando
:
Queremos ver se esse limite existe quando
se aproxima de
.
Passo 5
Para ver se o limite existe, vamos calcular ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo
:
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Caminho 2:
Substituindo
:
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3:
Vamos escolher
(assumindo
):
À medida que
,
, então:
Passo 6
Vimos que ao longo dos caminhos
e
, o limite é 0, mas ao longo do caminho
, o limite tende ao infinito. Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral não existe.
Resposta
Portanto, a função
não é diferenciável em
.
Exercícios relacionados
Considere as seguintes funções
definidas implícitamente. Use derivação implícita para calcular a derivada nos pontos indicados:
, no ponto
. [Resp:
.
Calcule os limites abaixo, justificando cada passagem pelas Propriedades do Limite:
b)
b)
Uma chapa retangular
é determinada pelas retas
e
. A temperatura da chapa é
. Determinar o ponto mais quente e o ponto mais frio da chapa.
Calcule os pontos extremos de
.