Seja f(x, y) = { xy^2 / (x^2 + y^4), (x, y) ≠ (0, 0); 0, (x, y) = (0, 0) }
b) Mostre que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes dependendo se o ponto é ou não. A tarefa é mostrar que essa função não é diferenciável no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, principalmente sobre diferenciabilidade e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que uma função é diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano linear próximo a esse ponto. Matemáticamente, isso significa que:
onde é uma função linear. Se esse limite não existe ou não é zero, a função não é diferenciável naquele ponto.

Passo 3

No nosso caso, queremos analisar a diferenciabilidade em . Então, vamos olhar para a definição:
Já que . Se esse limite não existir ou não for zero, então não é diferenciável em .

Passo 4

Vamos substituir a expressão de quando :
Queremos ver se esse limite existe quando se aproxima de .

Passo 5

Para ver se o limite existe, vamos calcular ao longo de diferentes caminhos. Se obtivermos resultados diferentes, o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo :
Então, o limite ao longo desse caminho é 0.
Caminho 2:
Substituindo :
Novamente, o limite é 0.
Caminho 3:
Vamos escolher (assumindo ):
À medida que , , então:

Passo 6

Vimos que ao longo dos caminhos e , o limite é 0, mas ao longo do caminho , o limite tende ao infinito. Como obtemos resultados diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral não existe.

Resposta

Portanto, a função não é diferenciável em .

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