[Questão bônus.]
Do ponto de vista geométrico, o que é a integral de Riemann de uma função? Fale a respeito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar, do ponto de vista geométrico, o que é a integral de Riemann de uma função. Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como área sob a curva, somas de áreas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que significa “área sob a curva”. Imagine que você tem um gráfico de uma função em um intervalo . Geometricamente, a integral de Riemann representa a área total entre o gráfico da função, o eixo e as linhas verticais e .

Passo 3

Para calcular essa área, a integral de Riemann usa algo chamado “somas de Riemann”. Isso envolve dividir o intervalo em várias subintervalos menores, calcular a área de retângulos em cada subintervalo e somar todas essas áreas. Quanto mais subintervalos usamos, mais precisa fica a estimativa da área total.

Passo 4

Matematicamente, se dividirmos em subintervalos de largura , e escolhermos um ponto em cada subintervalo, a soma de Riemann fica:
Essa soma aproxima a área sob a curva. Quando aumentamos o número de subintervalos ( tende ao infinito), a soma se aproxima do valor exato da integral.

Passo 5

Finalmente, a integral de Riemann é definida como o limite dessa soma quando vai para o infinito:
Isso formaliza a ideia de que estamos somando infinitos retângulos infinitamente estreitos para obter a área exata sob a curva.

Resposta

A integral de Riemann, do ponto de vista geométrico, representa a área total entre o gráfico de uma função, o eixo e dois limites verticais e . Ela é calculada como o limite da soma das áreas de retângulos que dividem o intervalo , onde cada retângulo tem altura dada pelo valor da função em um ponto específico do subintervalo. Esse processo permite determinar a área exata sob a curva da função.

Exercícios relacionados

Calcule:
pontos
Calcule:
pontos
No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos