[Questão bônus.]
Do ponto de vista geométrico, o que é a integral de Riemann de uma função? Fale a respeito.
Do ponto de vista geométrico, o que é a integral de Riemann de uma função? Fale a respeito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar, do ponto de vista geométrico, o que é a integral de Riemann de uma função. Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente de cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como área sob a curva, somas de áreas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que significa “área sob a curva”. Imagine que você tem um gráfico de uma função
em um intervalo
. Geometricamente, a integral de Riemann representa a área total entre o gráfico da função, o eixo
e as linhas verticais
e
.
Passo 3
Para calcular essa área, a integral de Riemann usa algo chamado “somas de Riemann”. Isso envolve dividir o intervalo
em várias subintervalos menores, calcular a área de retângulos em cada subintervalo e somar todas essas áreas. Quanto mais subintervalos usamos, mais precisa fica a estimativa da área total.
Passo 4
Matematicamente, se dividirmos
em
subintervalos de largura
, e escolhermos um ponto
em cada subintervalo, a soma de Riemann fica:
Essa soma aproxima a área sob a curva. Quando aumentamos o número de subintervalos (
tende ao infinito), a soma se aproxima do valor exato da integral.
Passo 5
Finalmente, a integral de Riemann é definida como o limite dessa soma quando
vai para o infinito:
Isso formaliza a ideia de que estamos somando infinitos retângulos infinitamente estreitos para obter a área exata sob a curva.
Resposta
A integral de Riemann, do ponto de vista geométrico, representa a área total entre o gráfico de uma função, o eixo
e dois limites verticais
e
. Ela é calculada como o limite da soma das áreas de retângulos que dividem o intervalo
, onde cada retângulo tem altura dada pelo valor da função em um ponto específico do subintervalo. Esse processo permite determinar a área exata sob a curva da função.
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pontos
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. Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
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