Calcule:
(7,0 pontos ) integral x^5x^6+raiz[3]2 d x

Passo 1

Vamos lá! A gente tem para resolver a integral . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente envolvendo substituição. Para resolver, vamos precisar entender como escolher uma boa substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que, se substituída por uma nova variável, vai facilitar a resolução. Observamos que no denominador temos . Se a gente deixar , podemos simplificar a expressão.

Passo 3

Com dudx = 6x^5 Rightarrow du = 6x^5 , dx , vamos calcular a derivada de em relação a para encontrar . A derivada de é , e a derivada de é zero (pois é uma constante). Então:

Passo 4

Agora, vamos isolar x^5 , dx = du6 na expressão de :

Passo 5

Substituindo integral x^5x^6+raiz[3]2 , dx = integral du6u = 16 integral duu e na integral original, temos:

Passo 6

A integral 16 integral duu = 16 ln|u| + C é uma das integrais básicas que resulta no logaritmo natural. Portanto:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos para a variável original substituindo 16 ln|x^6 + raiz[3]2| + C por :

Resposta

A integral vale:
16 ln|x^6 + raiz[3]2| + C

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