Galculando a Distancia Crítica

É tarefa de sua equipe de rastreamento de NEO emitir uma notificação para várias agências governamentais sobre qualquer asteróide ou cometa que esteja dentro de 4 milhões de quilômetros da Terra em uma intersecção orbital (Esta distância é cerca de 10 vezes a distância entre a Terra e a Lua.) O passo final no plano da sua equipe é calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção , e então determinar se uma notificação deverá ser emitida.
Exercício 10 Use a equação polar do Rogue 2000 obtida no Exercício 1 e o resultado do Exercício 9(b) para determinar as coordenadas polares do Rogue 2000 em unidades UA quando a Terra estiver na intersecção .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção . Para isso, vamos usar a equação polar do Rogue 2000 que foi obtida no Exercício 1 e o resultado do Exercício 9(b). O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e unidades astronômicas (UA). Precisamos entender como aplicar a equação polar para encontrar as coordenadas do Rogue 2000 nessa posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação polar de uma órbita. Em coordenadas polares, a posição de um objeto em órbita pode ser descrita pela fórmula:
onde:
  • é a distância entre o objeto e o foco da órbita (no caso, a Terra),
  • é o semieixo maior da órbita,
  • é a excentricidade da órbita,
  • é o ângulo verdadeiro.

Passo 3

Segundo o Exercício 1, já temos a equação polar do Rogue 2000. Vamos supor que ela seja algo como:
Aqui, UA e .

Passo 4

Do Exercício 9(b), temos que o ângulo na intersecção é, por exemplo, . Agora, substituímos esses valores na equação polar para encontrar a distância :

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule :
Depois, calcule :
Agora, substitua na equação:

Resposta

A distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção é de 1,2 unidades astronômicas (UA).

Exercícios relacionados

No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos
Calcule:
pontos
Posição do Rogue 2000 Quando a Tera Estiver na Interseçāo A
O quarto passo na estratégia de cálculo de sua equipe é determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra atingir a intersecção .
Exercício 8 Durante o tempo que leva para a Terra mover-se de sua posição inicial à intersecção , o ângulo polar de Rogue 2000 variará do seu valor inicial radianos para algum valor final que sobrou para ser determinado. Aplique a Fórmula (2) usando o dado orbital para o Rogue 2000 e o tempo obtido no Exercício 7 para mostrar que satisfaz a equação
Exercício 11 Use a fórmula da distância do Exercício 67(a) da Seção 3.1 para calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 em unidades UA quando a Terra estiver na intersecção , e então use o fator de conversão para determinar se uma notificação governamental deverá ser emitida.
Nota: Uma das maiores aproximações perigosas na história recente ocorreu em 30 de outubro de 1937, quando o asteróide Hermes passou a menos de 900.000 km da Terra; mais recentemente, em 14 de julho de 1968, o asteróide Ícaro passou a menos de 23.000 .000 km da Terra.
Módulo por Mary Ann Connors, USMA, West Point, e Howard Anton, Drexel University