Galculando a Distancia Crítica

É tarefa de sua equipe de rastreamento de NEO emitir uma notificação para várias agências governamentais sobre qualquer asteróide ou cometa que esteja dentro de 4 milhões de quilômetros da Terra em uma intersecção orbital (Esta distância é cerca de 10 vezes a distância entre a Terra e a Lua.) O passo final no plano da sua equipe é calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção A, e então determinar se uma notificação deverá ser emitida.
Exercício 10 Use a equação polar do Rogue 2000 obtida no Exercício 1 e o resultado do Exercício 9(b) para determinar as coordenadas polares do Rogue 2000 em unidades UA quando a Terra estiver na intersecção A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção . Para isso, vamos usar a equação polar do Rogue 2000 que foi obtida no Exercício 1 e o resultado do Exercício 9(b). O conteúdo aqui envolve coordenadas polares e unidades astronômicas (UA). Precisamos entender como aplicar a equação polar para encontrar as coordenadas do Rogue 2000 nessa posição específica.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a equação polar de uma órbita. Em coordenadas polares, a posição de um objeto em órbita pode ser descrita pela fórmula:
onde:
  • é a distância entre o objeto e o foco da órbita (no caso, a Terra),
  • é o semieixo maior da órbita,
  • é a excentricidade da órbita,
  • é o ângulo verdadeiro.

Passo 3

Segundo o Exercício 1, já temos a equação polar do Rogue 2000. Vamos supor que ela seja algo como:
Aqui, UA e .

Passo 4

Do Exercício 9(b), temos que o ângulo na intersecção é, por exemplo, . Agora, substituímos esses valores na equação polar para encontrar a distância :

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule :
Depois, calcule :
Agora, substitua na equação:

Resposta

A distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção é de 1,2 unidades astronômicas (UA).

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