No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos a primitiva da função . Isso está relacionado ao cálculo integral, que é a parte da matemática que lida com integrais, ou seja, encontrar funções cuja derivada é a função dada. Para resolver isso, vamos lembrar de algumas integrais básicas que a gente aprende na aula de cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual tipo de função estamos lidando. A função é uma função racional, e ela se parece muito com a derivada da função arco-tangente. Você se lembra que a derivada de é ? Isso é uma das integrais básicas que a gente memorizou.

Passo 3

Então, sabendo que a derivada de é , podemos usar essa informação para encontrar a primitiva. A primitiva de uma função é simplesmente uma função cuja derivada é a função original. Portanto, se derivarmos , voltamos à função que temos no enunciado.

Resposta

A primitiva da função é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule:
pontos
No que segue, e representarão constantes reais e . Sem fazer contas, diga qual é a primitiva da função em cada um dos seguintes casos:
pontos

Galculando a Distancia Crítica

É tarefa de sua equipe de rastreamento de NEO emitir uma notificação para várias agências governamentais sobre qualquer asteróide ou cometa que esteja dentro de 4 milhões de quilômetros da Terra em uma intersecção orbital (Esta distância é cerca de 10 vezes a distância entre a Terra e a Lua.) O passo final no plano da sua equipe é calcular a distância entre a Terra e o Rogue 2000 quando a Terra estiver na intersecção , e então determinar se uma notificação deverá ser emitida.
Exercício 10 Use a equação polar do Rogue 2000 obtida no Exercício 1 e o resultado do Exercício 9(b) para determinar as coordenadas polares do Rogue 2000 em unidades UA quando a Terra estiver na intersecção .
Posição do Rogue 2000 Quando a Tera Estiver na Interseçāo A
O quarto passo na estratégia de cálculo de sua equipe é determinar a posição do Rogue 2000 quando a Terra atingir a intersecção .
Exercício 8 Durante o tempo que leva para a Terra mover-se de sua posição inicial à intersecção , o ângulo polar de Rogue 2000 variará do seu valor inicial radianos para algum valor final que sobrou para ser determinado. Aplique a Fórmula (2) usando o dado orbital para o Rogue 2000 e o tempo obtido no Exercício 7 para mostrar que satisfaz a equação