Faça as mudanças de coordenadas pedidas. Dado (1, 1, raiz(2)) em coordenadas cartesianas (retangulares), encontre suas coordenadas cilindricas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um ponto nas coordenadas cartesianas, que são aquelas com (x, y, z). Nosso objetivo aqui é converter esse ponto para as coordenadas cilíndricas. Para isso, a gente vai precisar entender como funciona essa conversão e usar algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas cilíndricas. Diferente das coordenadas cartesianas, que usam três valores (x, y, z), as cilíndricas usam três outros valores: , e . Aqui, é a distância do ponto até o eixo z, é o ângulo que esse raio faz com o eixo x, e é a mesma altura do ponto nas duas coordenadas.

Passo 3

O primeiro passo para converter é encontrar o valor de . A fórmula para isso é:
Vamos substituir os valores que temos: e .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o valor de . A fórmula para é:
Substituindo e :
Isso porque corresponde a 45 graus, que é igual a radianos.

Passo 5

O valor de nas coordenadas cilíndricas é o mesmo que nas cartesianas. Então, simplesmente pegamos o valor de dado:

Resposta

As coordenadas cilíndricas do ponto (1, 1,  ) são .

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