Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de no ponto em que .
20.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial que descreve uma curva no espaço. A tarefa é encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto onde , que nesse caso é . Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto na curva correspondente a e depois determinar a direção da reta tangente usando a derivada da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando . Isso significa que substituímos por na função :
Simplificando:
Então, o ponto na curva para é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da funç��o vetorial em relação a , que representa o vetor velocidade ou a taxa de variação da posição ao longo da curva:
Derivando termo a termo:

Passo 4

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para obter o vetor direção da reta tangente:
Portanto, o vetor direção da reta tangente é .

Passo 5

Com o ponto na curva e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
onde é o ponto na reta e são as componentes do vetor direção.

Passo 6

Aplicando os valores que encontramos:
  • ,
  • ,
As equações paramétricas ficam:
Simplificando a segunda equação:

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente são:

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Nos Exercícios de 23 a 26 , prove que existe.
Seja . Determine
(b).