Obtenha as equações paramétricas da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
20.
20.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função vetorial
que descreve uma curva no espaço. A tarefa é encontrar as equações paramétricas da reta tangente a essa curva no ponto onde
, que nesse caso é
. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar o ponto na curva correspondente a
e depois determinar a direção da reta tangente usando a derivada da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto na curva quando
. Isso significa que substituímos
por
na função
:
Simplificando:
Então, o ponto na curva para
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a direção da reta tangente nesse ponto. Para isso, vamos calcular a derivada da funç��o vetorial
em relação a
, que representa o vetor velocidade ou a taxa de variação da posição ao longo da curva:
Derivando termo a termo:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para obter o vetor direção da reta tangente:
Portanto, o vetor direção da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto na curva
e o vetor direção
, podemos escrever as equações paramétricas da reta tangente. A forma geral das equações paramétricas de uma reta é:
onde
é o ponto na reta e
são as componentes do vetor direção.
Passo 6
Aplicando os valores que encontramos:
-
, -
,
As equações paramétricas ficam:
Simplificando a segunda equação:
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente são:
Exercícios relacionados
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral dupla
onde:
e
a região da elípse
, situada no segundo quadrante.
Calcule a posição
do centro de massa do perfil plano
onde:
é a região entre as curvas:
e
.
Nos Exercícios de 23 a 26 , prove que
existe.
Seja
. Determine
(b).
(b).