Calcule a posição
do centro de massa da região
onde:
é a região entre as superfícies:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a posição
do centro de massa da região
que está entre as superfícies
e
, onde
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente usando integrais para determinar o centro de massa de uma região no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar configurar e calcular integrais triplas, provavelmente usando coordenadas cilíndricas por causa da simetria do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da região
. A superfície superior é dada por
, que é uma espécie de “teto” invertido que desce à medida que nos afastamos do eixo
. A superfície inferior é o plano
, que é o “chão” da nossa região. Por causa da presença de
, faz sentido usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
.
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, a densidade uniforme simplifica os cálculos. A posição do centro de massa
é dada por:
Aqui,
representa o volume da região
e
é o momento em torno do plano
. Vamos configurar as integrais:
-
varia de a , porque quando , , que é o limite inferior. -
varia de a para cobrir toda a circunferência. -
varia de a .
A integral do volume fica:
E a integral do momento:
Passo 4
Vamos calcular o volume
primeiro:
Integrando em
:
Então,
Agora, vamos calcular o momento
:
Integrando em
primeiro:
Então,
Expandindo e integrando em
:
Então,
Resposta
Agora, podemos calcular a posição do centro de massa
:
Portanto, a posição do centro de massa é
.
Exercícios relacionados
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla
onde:
e
a região da elípsoide
, situada no primeiro octante.
Determine o volume da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e - das superfícies
e , situada no primeiro octante.
Calcule as expressões:
Calcule as expressões: