Calcule a posição z barra do centro de massa da região D onde:
D é a região entre as superfícies: z = 0 e z = a - raiz(x^2 + y^2), a > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a posição z barra do centro de massa da região D que está entre as superfícies z = 0 e , onde . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente usando integrais para determinar o centro de massa de uma região no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar configurar e calcular integrais triplas, provavelmente usando coordenadas cilíndricas por causa da simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região D. A superfície superior é dada por , que é uma espécie de “teto” invertido que desce à medida que nos afastamos do eixo z. A superfície inferior é o plano z = 0, que é o “chão” da nossa região. Por causa da presença de raiz(x^2 + y^2), faz sentido usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, a densidade uniforme simplifica os cálculos. A posição do centro de massa z barra é dada por:
Aqui, representa o volume da região D e é o momento em torno do plano z = 0. Vamos configurar as integrais:
  • r varia de 0 a a, porque quando , , que é o limite inferior.
  • theta varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
  • z varia de 0 a .
A integral do volume fica:
E a integral do momento:

Passo 4

Vamos calcular o volume V primeiro:
Integrando em r:
Então,
Agora, vamos calcular o momento :
Integrando em z primeiro:
Então,
Expandindo e integrando em r:
Então,

Resposta

Agora, podemos calcular a posição do centro de massa z barra:
Portanto, a posição do centro de massa é .

Exercícios relacionados