Calcule a posição do centro de massa da região onde:
é a região entre as superfícies: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a posição do centro de massa da região que está entre as superfícies e , onde . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente usando integrais para determinar o centro de massa de uma região no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar configurar e calcular integrais triplas, provavelmente usando coordenadas cilíndricas por causa da simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da região . A superfície superior é dada por , que é uma espécie de “teto” invertido que desce à medida que nos afastamos do eixo . A superfície inferior é o plano , que é o “chão” da nossa região. Por causa da presença de , faz sentido usar coordenadas cilíndricas, onde , , e .

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, a densidade uniforme simplifica os cálculos. A posição do centro de massa é dada por:
Aqui, representa o volume da região e é o momento em torno do plano . Vamos configurar as integrais:
  • varia de a , porque quando , , que é o limite inferior.
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.
  • varia de a .
A integral do volume fica:
E a integral do momento:

Passo 4

Vamos calcular o volume primeiro:
Integrando em :
Então,
Agora, vamos calcular o momento :
Integrando em primeiro:
Então,
Expandindo e integrando em :
Então,

Resposta

Agora, podemos calcular a posição do centro de massa :
Portanto, a posição do centro de massa é .

Exercícios relacionados

Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla onde:
e a região da elípsoide , situada no primeiro octante.
Determine o volume da região formada pela intersecção:
  • dos planos e
  • das superfícies e , situada no primeiro octante.
Calcule as expressões:
Calcule as expressões: