Determine o volume da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e
- das superfícies
e
, situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! 😊 O que a gente precisa fazer aqui é encontrar o volume da região
que é formada pela intersecção de dois conjuntos de superfícies:
- Primeiro Conjunto: Os planos
, , e a equação do plano . - Segundo Conjunto: As superfícies
e , todas situadas no primeiro octante (onde ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Cálculo Integral, especificamente integrais tripe para calcular volumes. Também vamos usar um pouco de Geometria Analítica para entender melhor as intersecções das superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é definida a região
. Ela está no primeiro octante, então
,
e
. Além disso,
é limitada por duas superfícies superiores:
- O plano
. - O paraboloide
.
Devemos encontrar onde essas duas superfícies se encontram para saber qual delas está “sobre” a outra na região
.
Passo 3
Vamos igualar as duas equações para encontrar a curva de interseção:
Como
, substituímos na equação do plano:
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 4
Multiplicando tudo por
para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Agora, vamos coletar os termos semelhantes:
Isso representa uma equação que relaciona
e
na curva de interseção.
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde:
Nesse sistema, a equação do paraboloide fica:
E a do plano:
Agora, vamos determinar os limites de integração para
e
.
Passo 6
A interseção ocorre quando
das duas superfícies é igual:
Vamos reorganizar essa equação para resolver
:
Essa equação pode ser complexa para resolver diretamente, então vamos considerar simetria e possíveis simplificações.
Passo 7
Observando que estamos no primeiro octante e buscando simetria, vamos assumir que a interseção ocorre onde
, ou seja,
. Isso simplifica a relação e facilita a determinação dos limites de
.
Substituindo
:
Simplificando:
Isso nos dará uma equação para resolver
, mas para simplificar, vamos estabelecer os limites de
de 0 até onde as duas superfícies se encontram.
Passo 8
Agora, vamos configurar a integral tríplice para calcular o volume
da região
. Em coordenadas cilíndricas, a integral fica:
Onde
é o limite superior para
determinado pela interseção das duas superfícies.
Passo 9
Para simplificar, podemos considerar que a interseção ocorre onde as duas superfícies se cruzam, então
será o valor de
que satisfaz
.
Resolvendo essa equação para
, encontramos o limite superior de integração para
. Depois, integramos
de 0 até
, já que o paraboloide está acima do plano
.
Passo 10
Finalmente, depois de determinar todos os limites de integração, calculamos a integral para encontrar o volume
. O cálculo exato pode ser complexo e dependerá dos valores de
,
e
, mas o processo geral envolve:
- Integrar em
de 0 a . - Integrar em
de 0 a . - Integrar em
de 0 a .
Resposta
O volume da região
é obtido através da integral tríplice configurada em coordenadas cilíndricas, levando em conta os limites determinados pelas superfícies dadas. Após realizar os cálculos necessários, o volume
é determinado pela integração apropriada dos limites estabelecidos.
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Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem:
(Teste de comparação assintótica)
Verdadeiro ou contra-exemplo: Se a série
converge, então
converge.
Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla
onde:
e
a região da elípsoide
, situada no primeiro octante.
Calcule a posição
do centro de massa da região
onde:
é a região entre as superfícies:
e
.