Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla onde: e a região da elípsoide , situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde é a região do elipsoide no primeiro octante. Vamos usar o cálculo integral e a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. É uma superfície 3D que parece uma esfera, mas alongada ou achatada em alguns eixos. No nosso caso, os parâmetros , e determinam o alongamento nos eixos , e respectivamente.
Passo 3
Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma o elipsoide em uma esfera unitária. Vamos definir:
Com isso, a equação do elipsoide fica:
Agora, estamos trabalhando no primeiro octante, então .
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a medida de integração. As derivadas parciais são:
Então, o jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis integral triplaD y , dx , dy , dz = integral triplaD' (b v) cdot abc , du , dv , dw = a b^2 c integral triplaD' v , du , dv , dw , , :
Aqui, é a esfera unitária no primeiro octante.
Passo 6
Para calcular a integral na esfera unitária, vamos mudar para coordenadas esféricas:
u = rho sinphi costheta, v = rho sinphi sintheta, w = rho cosphi
No primeiro octante, os limites são:
0 <= rho <= 1, 0 <= theta <= pi2, 0 <= phi <= pi2
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
du , dv , dw = rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Passo 7
Substituindo tudo na integral, temos:
a b^2 c integral triplaD' v , du , dv , dw = a b^2 c integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 (rho sinphi sintheta) cdot rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Simplificando:
a b^2 c integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^1 rho^3 sin^2phi sintheta , drho , dphi , dtheta
Passo 8
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, em relação a integral0^1 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^1 = 14 :
a b^2 c cdot 14 integral0^pi2 integral0^pi2 sin^2phi sintheta , dphi , dtheta
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integrando em relação a integral0^pi2 sin^2phi , dphi = pi4 :