Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla onde:
e a região da elípsoide , situada no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde é a região do elipsoide no primeiro octante. Vamos usar o cálculo integral e a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. É uma superfície 3D que parece uma esfera, mas alongada ou achatada em alguns eixos. No nosso caso, os parâmetros , e determinam o alongamento nos eixos , e respectivamente.

Passo 3

Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma o elipsoide em uma esfera unitária. Vamos definir:
Com isso, a equação do elipsoide fica:
Agora, estamos trabalhando no primeiro octante, então .

Passo 4

Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a medida de integração. As derivadas parciais são:
Então, o jacobiano é .

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis , , :
Aqui, é a esfera unitária no primeiro octante.

Passo 6

Para calcular a integral na esfera unitária, vamos mudar para coordenadas esféricas:
No primeiro octante, os limites são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 7

Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:

Passo 8

Vamos integrar passo a passo. Primeiro, em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 9

Integrando em relação a :
E em relação a :

Passo 10

Multiplicando todos os resultados:

Resposta

A integral tripla é igual a .

Exercícios relacionados

Determine o volume da região formada pela intersecção:
  • dos planos e
  • das superfícies e , situada no primeiro octante.
Enuncie os testes e prove que as seguintes séries convergem: (Teste de comparação assintótica)
Calcule a posição do centro de massa da região onde:
é a região entre as superfícies: e .
Calcule as expressões: