Calcule, usando mudança de variáveis, a integral tripla onde: e a região da elípsoide , situada no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral tripla onde é a região do elipsoide no primeiro octante. Vamos usar o cálculo integral e a técnica de mudança de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um elipsoide. É uma superfície 3D que parece uma esfera, mas alongada ou achatada em alguns eixos. No nosso caso, os parâmetros , e determinam o alongamento nos eixos , e respectivamente.
Passo 3
Para simplificar a integral, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma o elipsoide em uma esfera unitária. Vamos definir:
Com isso, a equação do elipsoide fica:
Agora, estamos trabalhando no primeiro octante, então .
Passo 4
Agora, precisamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis para ajustar a medida de integração. As derivadas parciais são:
Então, o jacobiano é .
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral original em termos das novas variáveis , , :
Aqui, é a esfera unitária no primeiro octante.
Passo 6
Para calcular a integral na esfera unitária, vamos mudar para coordenadas esféricas:
No primeiro octante, os limites são:
O elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 7
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 8
Vamos integrar passo a passo. Primeiro, em relação a :