Suponha que
seja uma função que satisfaz a expressão
para todos
. Suponha também que
Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de
,
e
para uma função
que satisfaz a equação funcional:
Além disso, sabemos que:
Vamos usar conhecimentos de funções, limites e derivadas para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos substituir
e
na equação funcional:
Simplificando:
Isso só é possível se
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em
. Sabemos que:
Esse limite é exatamente a definição da derivada de
em
:
Passo 4
Para achar
, vamos começar entendendo a forma da função
. A equação funcional sugere que
pode ser um polinômio. Vamos supor que:
Agora, substituímos
e
na equação funcional:
Expandindo
:
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Também,
Então, a função fica:
Passo 5
Finalmente, vamos derivar
para encontrar
:
Resposta
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Calcule a posição
do centro de massa da região D onde: D é a região entre as superfícies:
e
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, onde
e
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para os quais
é contínua em
: