Suponha que seja uma função que satisfaz a expressão para todos . Suponha também que
Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de , e para uma função que satisfaz a equação funcional:
Além disso, sabemos que:
Vamos usar conhecimentos de funções, limites e derivadas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos substituir e na equação funcional:
Simplificando:
Isso só é possível se .

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em . Sabemos que:
Esse limite é exatamente a definição da derivada de em :

Passo 4

Para achar , vamos começar entendendo a forma da função . A equação funcional sugere que pode ser um polinômio. Vamos supor que:
Agora, substituímos e na equação funcional:
Expandindo :
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Também,
Então, a função fica:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar para encontrar :

Resposta

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