Suponha que f seja uma função que satisfaz a expressão f(x+y)=f(x)+f(y)+ x^2 y+x y^2 para todos x, y in R. Suponha também que
lim x 0 f(x)x=1
Determine f(0), f^prime(0) e f^prime(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os valores de f(x + y) = f(x) + f(y) + x^2 y + x y^2 , limx 0 f(x)x = 1 e para uma função que satisfaz a equação funcional:
Além disso, sabemos que:
Vamos usar conhecimentos de funções, limites e derivadas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar f(0 + 0) = f(0) + f(0) + 0^2 cdot 0 + 0 cdot 0^2 . Para isso, vamos substituir f(0) = 2f(0) e na equação funcional:
Simplificando:
Isso só é possível se .

Passo 3

Agora, vamos encontrar limx 0 f(x)x = 1 , que é a derivada de f'(0) = 1 em . Sabemos que:
Esse limite é exatamente a definição da derivada de em :

Passo 4

Para achar f(x) = A x + B x^3 , vamos começar entendendo a forma da função A(x + y) + B(x + y)^3 = A x + B x^3 + A y + B y^3 + x^2 y + x y^2 . A equação funcional sugere que A x + A y + B(x^3 + 3x^2 y + 3x y^2 + y^3) = A x + B x^3 + A y + B y^3 + x^2 y + x y^2 pode ser um polinômio. Vamos supor que:
3B = 1 Rightarrow B = 13
Agora, substituímos A = 1 e f(x) = x + 13x^3 na equação funcional:
Expandindo :
Comparando os coeficientes dos termos semelhantes:
Também,
Então, a função fica:

Passo 5

Finalmente, vamos derivar f'(x) = ddx(x + 13x^3) = 1 + x^2 para encontrar :

Resposta

f(0) = 0, f^prime(0) = 1, e f^prime(x) = 1 + x^2

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