Use o método do Exercício 5 para calcular integralC F cdot d r, onde
F(x, y)=2 x y i+(y^2-x^2) j(x^2+y^2)^2
e C é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde e é uma curva fechada simples, orientada positivamente, que envolve a origem. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Precisaremos calcular derivadas parciais e fazer uma integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy que envolve uma região , temos:
Onde . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais Q = y^2 - x^2(x^2 + y^2)^2 e partial Qpartial x = -2x(x^2 + y^2)^2 - (y^2 - x^2) cdot 2(x^2 + y^2)(2x)(x^2 + y^2)^4 .
Primeiro, para partial Qpartial x = -2x(x^2 + y^2) - 4x(y^2 - x^2)(x^2 + y^2)^3 :
= -2x(x^2 + y^2) - 4xy^2 + 4x^3(x^2 + y^2)^3
Usando a regra do quociente:
= (-2x^3 - 2x y^2 - 4x y^2 + 4x^3)(x^2 + y^2)^3
Simplificando:
= 2x^3 - 6x y^2(x^2 + y^2)^3
P = 2xy(x^2 + y^2)^2
partial Ppartial y = 2x(x^2 + y^2)^2 - 2xy cdot 2(x^2 + y^2)(2y)(x^2 + y^2)^4
partial Ppartial y = 2x(x^2 + y^2) - 8x y^2(x^2 + y^2)^3
Agora, para = 2x^3 + 2x y^2 - 8x y^2(x^2 + y^2)^3 :
= 2x^3 - 6x y^2(x^2 + y^2)^3
Usando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x^3 - 6x y^2(x^2 + y^2)^3 - 2x^3 - 6x y^2(x^2 + y^2)^3 = 0 :
Isso significa que a expressão dentro da integral dupla é zero.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Green, temos:
ointC F cdot dr = integral duplaD 0 , dx , dy = 0
Então, a integral de linha é igual a zero.

Resposta

A integral é igual a zero.

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