Use o método do Exercício 5 para calcular
, onde
e
é qualquer curva fechada simples positivamente orientada que envolve a origem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
e
é uma curva fechada simples, orientada positivamente, que envolve a origem. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha a integrais duplas. Precisaremos calcular derivadas parciais e fazer uma integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que, para uma curva fechada
que envolve uma região
, temos:
Onde
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Primeiro, para
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Agora, para
:
Usando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Isso significa que a expressão dentro da integral dupla é zero.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Green, temos:
Então, a integral de linha é igual a zero.
Resposta
A integral
é igual a zero.