Calcule a posição do centroide e o momento estático para os eixos x e y das figuras.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a posição do centroide e o momento estático para os eixos x e y das figuras. Isso faz parte da matéria de Geometria e Estática, onde a gente estuda como encontrar o “centro de massa” das formas e como distribuir forças ao redor desses eixos. Para resolver, vamos precisar das fórmulas do centroide e dos momentos estáticos, além de entender um pouco sobre integração para formas mais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o centroide. O centroide é o ponto que representa o centro de massa da figura geométrica, assumindo que a densidade é uniforme. Para encontrar a posição do centroide nos eixos x e y, usamos as seguintes fórmulas:
barx = integral x , dAintegral dA
bary = integral y , dAintegral dA
Aqui, e são as coordenadas do centroide, é um elemento de área da figura, e as integrais representam a soma de todos esses elementos sobre toda a área da figura.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o momento estático. O momento estático em relação ao eixo x ( Qx = integral y , dA ) e ao eixo y ( Qy = integral x , dA ) são medidas que ajudam a entender como a área está distribuída em relação a esses eixos. As fórmulas são:
Essas integrais basicamente somam os produtos das coordenadas y e x, respectivamente, por cada elemento de área .

Passo 4

Vamos supor que temos uma figura simples, como um retângulo, para aplicar essas fórmulas. Suponha que o retângulo tenha largura barx = b2 e altura bary = h2 , e esteja posicionado com a base no eixo x e uma das laterais no eixo y.
Para o retângulo:
  • A área total Qx = integral y , dA = A times bary1 = A times h2 = b h^22
  • O centroide estará no meio do retângulo, então: Qy = integral x , dA = A times barx1 = A times b2 = b^2 h2
  • Os momentos estáticos serão:

Resposta

A posição do centroide do retângulo está em . Os momentos estáticos para os eixos x e y são e , respectivamente.

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