Seja um tubo de alumínio ( E=0,7 times 10^6 Kgf / cm^2 ), revestido com um tubo de aço (E=2,1 times 10^6 Kgf / cm^2), coaxialmente. À temperatura ambiente os dois tubos se ajustam perfeitamente (sem folga e sem pressão entre os mesmos). Determinar: a) A pressão que aparecerá entre os dois tubos, se elevar a temperatura de 20^circ C; b) A tensão circunferencial em cada tubo.
DADOS: alpha alumínio =23 times 10^-6 / ^circ C alpha aco =11,7 times 10^-6 / ^circ Cí

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre expansão térmica em tubos concêntricos de alumínio e aço. A gente precisa descobrir duas coisas: a pressão que surge entre os tubos quando a temperatura aumenta e a tensão circunferencial em cada tubo. Para resolver isso, vamos precisar das propriedades dos materiais (módulo de elasticidade e coeficiente de dilatação térmica) e usar umas fórmulas de mecânica dos sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Módulo de Elasticidade do Alumínio, í
  • Módulo de Elasticidade do Aço,
  • Coeficiente de dilatação térmica do Alumínio, í
  • Coeficiente de dilatação térmica do Aço,
  • Aumento de temperatura,

Passo 3

Sabemos que, com o aumento de temperatura, cada material tende a se expandir. Mas como os tubos estão encaixados perfeitamente, o alumínio e o aço vão tentar se expandir mais ou menos que o outro, gerando uma pressão entre eles. Essa pressão é causada pela diferença nas dilatações térmicas.

Passo 4

A pressão entre os tubos pode ser calculada usando a fórmula da pressão térmica para tubos concêntricos:
P = Ealumínio cdot Eaco cdot (alphaalumínio - alphaaco) cdot Deííí
Essa fórmula leva em conta os módulos de elasticidade e os coeficientes de dilatação dos dois materiais, além do aumento de temperatura.

Passo 5

Vamos substituir os valores na fórmula:
P = 0,7 times 10^6 cdot 2,1 times 10^6 cdot (23 times 10^-6 - 11,7 times 10^-6) cdot 200,7 times 10^6 + 2,1 times 10^6

Passo 6

Calculando passo a passo:
  • Diferença dos coeficientes de dilatação:
23 times 10^-6 - 11,7 times 10^-6 = 11,3 times 10^-6 /^circC
  • Soma dos módulos de elasticidade:
0,7 times 10^6 + 2,1 times 10^6 = 2,8 times 10^6 , Kgf/cm^2
  • Multiplicando os termos no numerador:
0,7 times 10^6 cdot 2,1 times 10^6 = 1,47 times 10^12
1,47 times 10^12 cdot 11,3 times 10^-6 cdot 20 = 1,47 times 10^12 cdot 0,000226 = 3,3202 times 10^8
  • Finalmente, dividindo pelo denominador:
P = 3,3202 times 10^82,8 times 10^6 approx 118,58 , Kgf/cm^2

Passo 7

Agora, para encontrar a tensão circunferencial em cada tubo, usamos a relação entre pressão e tensão. A tensão circunferencial ( sigma = P cdot rt ) é dada por:
Onde é o raio e a espessura do material. Mas como não temos esses dados, vamos considerar que a tensão está diretamente relacionada à pressão calculada e aos módulos de elasticidade.

Passo 8

Considerando que a tensão é proporcional à pressão e ao módulo de elasticidade, podemos simplificar e dizer que:
sigmaalumínio = EalumínioEalumínio + Eaco cdot P ííí
sigmaaco = EacoEalumínio + Eaco cdot P í
Substituindo os valores:
sigmaalumínio = 0,7 times 10^62,8 times 10^6 cdot 118,58 approx 29,7 , Kgf/cm^2 í
sigmaaco = 2,1 times 10^62,8 times 10^6 cdot 118,58 approx 89,88 , Kgf/cm^2

Resposta

a) A pressão que aparecerá entre os dois tubos é aproximadamente 118,58 Kgf/cm².
b) A tensão circunferencial no tubo de alumínio é de cerca de 29,7 Kgf/cm² e no tubo de aço é de aproximadamente 89,88 Kgf/cm².

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