Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial
, sobre do bordo de
, orientado positivamente; sendo
a porção do plano
contido no primeiro octante de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da borda de uma superfície
. A superfície
é a parte do plano
que está no primeiro octante de
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre essa superfície. Para resolver, precisamos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de
e parametrizar a superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui,
é a borda de
,
é o rotacional de
,
é o vetor normal à superfície, e
é o elemento de área.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional
é dado por:
Substituindo
:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos parametrizar a superfície
. Como
está no plano
e no primeiro octante, podemos resolver para
:
Os limites para
e
são
,
, e
, o que nos dá
. Portanto, a região de integração é o triângulo com vértices em
,
e
no plano
.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal
. Para o plano
, o vetor normal é
. Como queremos a orientação positiva, mantemos esse vetor.
O elemento de área
é dado por:
No entanto, para simplificar, usaremos a fórmula direta, sabendo que:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Substituindo
:
Passo 7
Agora, calculamos a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com
,
, e
:
A área de
é a área do triângulo com base e altura iguais a 3:
Então,
Resposta
A integral de linha é igual a
.