Use o teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = y^2 * i + z^2 * j + x^2 * k, sobre do bordo de sigma, orientado positivamente; sendo sigma a porção do plano x + y + z = 3 contido no primeiro octante de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da borda de uma superfície sigma. A superfície sigma é a parte do plano que está no primeiro octante de R^3. Vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha ao redor da borda de uma superfície com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre essa superfície. Para resolver, precisamos entender o Teorema de Stokes, calcular o rotacional de F e parametrizar a superfície sigma.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o Teorema de Stokes. Ele diz que:
Aqui, é a borda de sigma, nabla vezes F é o rotacional de F, n é o vetor normal à superfície, e é o elemento de área.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional nabla vezes F é dado por:
Substituindo :
Então,

Passo 4

Agora, precisamos parametrizar a superfície sigma. Como sigma está no plano e no primeiro octante, podemos resolver para z:
Os limites para x e y são x >= 0, y ≥ 0, e z ≥ 0, o que nos dá . Portanto, a região de integração é o triângulo com vértices em (0,0), (3,0) e 0,3 no plano xy.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n. Para o plano , o vetor normal é . Como queremos a orientação positiva, mantemos esse vetor.
O elemento de área é dado por:
No entanto, para simplificar, usaremos a fórmula direta, sabendo que:

Passo 6

Agora, aplicamos o Teorema de Stokes:
Substituindo :

Passo 7

Agora, calculamos a integral dupla sobre a região D, que é o triângulo com x >= 0, y ≥ 0, e :
á
A área de D é a área do triângulo com base e altura iguais a 3:
Á
Então,

Resposta

A integral de linha é igual a .

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