Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(h)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da sequência de somas parciais da série
. Depois disso, precisamos descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é a sua soma. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender um pouco sobre séries infinitas e seus comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da soma. O denominador
pode ser fatorado assim:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos achar números
,
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para achar
,
e
, vamos escolher valores estratégicos para
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Com essa decomposição, podemos escrever a soma parcial
da série:
Vamos separar as somas:
Observando que algumas dessas somas vão se cancelar (isso é o famoso “telescoping”):
Onde
é o n-ésimo número harmônico.
Simplificando:
Passo 5
Para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e seu som é
.