Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(h) sumn=1^infty 3 n+4n^3+3 n^2+2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da sequência de somas parciais da série . Depois disso, precisamos descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é a sua soma. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender um pouco sobre séries infinitas e seus comportamentos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da soma. O denominador n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2) pode ser fatorado assim:
3n + 4n(n + 1)(n + 2)
Então, a expressão fica:

Passo 3

Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos achar números 3n + 4n(n + 1)(n + 2) = An + Bn + 1 + Cn + 2 , 3n + 4 = A(n + 1)(n + 2) + Bn(n + 2) + Cn(n + 1) e 3(-2) + 4 = A(-1)(0) + B(-2)(0) + C(-2)(-1) Rightarrow -6 + 4 = 2C Rightarrow C = -1 tais que:
3(-1) + 4 = A(0)(1) + B(-1)(1) + C(-1)(0) Rightarrow -3 + 4 = -B Rightarrow B = -1
Multiplicando ambos os lados por 3(0) + 4 = A(1)(2) + B(0) + C(0) Rightarrow 4 = 2A Rightarrow A = 2 , temos:
3n + 4n(n + 1)(n + 2) = 2n - 1n + 1 - 1n + 2
Para achar , e , vamos escolher valores estratégicos para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 4

Com essa decomposição, podemos escrever a soma parcial Sn = sumk=1^n ( 2k - 1k + 1 - 1k + 2 ) da série:
Sn = 2sumk=1^n 1k - sumk=1^n 1k + 1 - sumk=1^n 1k + 2
Vamos separar as somas:
Sn = 2Hn - (Hn+1 - 1) - (Hn+2 - 1 - 12)
Observando que algumas dessas somas vão se cancelar (isso é o famoso “telescoping”):
Sn = 32 - 2n + 1 - 1n + 2
Onde é o n-ésimo número harmônico.
Simplificando:

Passo 5

Para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de limn to infty Sn = 32 - limn to infty ( 2n + 1 + 1n + 2 ) = 32 - 0 = 32 quando tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.

Resposta

A série converge e seu som é .

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