Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
(h)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o termo geral da sequência de somas parciais da série
. Depois disso, precisamos descobrir se essa série converge ou diverge e, se convergir, qual é a sua soma. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e entender um pouco sobre séries infinitas e seus comportamentos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da soma. O denominador
pode ser fatorado assim:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos decompor essa fração em frações parciais. Queremos achar números
,
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para achar
,
e
, vamos escolher valores estratégicos para
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 4
Com essa decomposição, podemos escrever a soma parcial
da série:
Vamos separar as somas:
Observando que algumas dessas somas vão se cancelar (isso é o famoso “telescoping”):
Onde
é o n-ésimo número harmônico.
Simplificando:
Passo 5
Para determinar se a série converge, vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito:
Como o limite existe e é finito, a série converge.
Resposta
A série converge e seu som é
.
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Calcule, se possivel, pela definição e pelo teorema da divergência, o fluxo do campo vetorial
sobre a fronteira do sólido descrito por
, na direção do vetor unitário normal exterior.
Encontre o termo geral da sequência de somas parciais de cada uma das séries abaixo. A seguir, determine se a série converge ou diverge, obtendo o valor de sua soma, se possível.
©
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a) Mostre que o fluxo do campo
através de qualquer esfera centrada na origem, de raio
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.
b) Mostre que a igualdade estabelecida no teorema da divergência não se verifique no cálculo do item a). Por quê?
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Dado um número inteiro
, uma função
é chamada positivamente homogênea de grau
se
, para todo
e todo
. Demonstre:
Teorema (Euler) Se é uma função positivamente homogênea e continuamente diferenciável de grau
, então
.
Teorema (Euler) Se