Calcule, se possível, as integrais abaixo
© integral 3 x^3-x^2+x-1x^4+x^2 d x

Passo 1

Fala! Vamos resolver essa integral que você enviou:
integral 3x^3 - x^2 + x - 1x^4 + x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos usar um método chamado frações parciais, que nos ajuda a simplificar a fração para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. O denominador é:
x^4 + x^2
Podemos fatorar tirando o fator comum x^4 + x^2 = x^2(x^2 + 1) :
Então, o denominador fatorado é .

Passo 3

Agora, vamos decompôr a fração usando frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. Então, temos:
3x^3 - x^2 + x - 1x^2(x^2 + 1) = Ax + Bx^2 + Cx + Dx^2 + 1
Onde , , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por 3x^3 - x^2 + x - 1 = A x (x^2 + 1) + B (x^2 + 1) + (Cx + D) x^2 para eliminar os denominadores:
3x^3 - x^2 + x - 1 = A x^3 + A x + B x^2 + B + C x^3 + D x^2
Expandindo os termos do lado direito:
3x^3 - x^2 + x - 1 = (A + C) x^3 + (B + D) x^2 + A x + B
Agrupando termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para o termo constante:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De 1 + C = 3 implies C = 2 , já temos -1 + D = -1 implies D = 0 .
  2. De , substituindo :
  1. De , já temos .
  2. De , substituindo :

Passo 7

Agora que encontramos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição das frações parciais:
3x^3 - x^2 + x - 1x^2(x^2 + 1) = 1x + -1x^2 + 2xx^2 + 1

Passo 8

Vamos agora integrar cada termo separadamente:
integral 1x , dx + integral -1x^2 , dx + integral 2xx^2 + 1 , dx
Calculando cada integral:
  1. Para , fazemos uma substituição: seja , então . Assim, a integral fica

Passo 9

Juntando todas as integrais calculadas, temos:
ln|x| + 1x + ln(x^2 + 1) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

integral 3x^3 - x^2 + x - 1x^4 + x^2 , dx = ln|x| + 1x + ln(x^2 + 1) + C

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