Calcule, se possível, as integrais abaixo
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Passo 1
Fala! Vamos resolver essa integral que você enviou:
Aqui, estamos lidando com uma função racional, que é basicamente um polinômio dividido por outro polinômio. Para resolver isso, vamos usar um método chamado frações parciais, que nos ajuda a simplificar a fração para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para ver se conseguimos simplificar a fração. O denominador é:
Podemos fatorar tirando o fator comum
:
Então, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora, vamos decompôr a fração usando frações parciais. A ideia é expressar a fração original como a soma de frações mais simples. Então, temos:
Onde
,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para o termo constante:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
- De
, já temos . - De
, substituindo :
- De
, já temos . - De
, substituindo :
Passo 7
Agora que encontramos os valores das constantes, podemos escrever a decomposição das frações parciais:
Passo 8
Vamos agora integrar cada termo separadamente:
Calculando cada integral:
-
-
- Para
, fazemos uma substituição: seja , então . Assim, a integral fica
Passo 9
Juntando todas as integrais calculadas, temos:
Onde
é a constante de integração.