Considere a região
entre as curvas
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno da reta
.
Boa Prova!
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume do sólido que aparece quando giramos a região
entre as curvas
e
em torno da reta
(que é o eixo
). Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram. Igualamos
:
Isso acontece quando
, ou seja,
. Como estamos considerando
, o intervalo de integração vai de
até onde as curvas se tornam negligenciáveis (no infinito).
Passo 3
No método dos discos, o volume é calculado integrando a área dos discos gerados pela rotação. A fórmula geral é:
Aqui,
é a função mais externa e
a mais interna em relação ao eixo de rotação.
Passo 4
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo
, as funções
e
representam as distâncias dos discos ao eixo. Observando que
para
, temos:
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Integramos termo a termo:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Multiplicamos o resultado pela
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.