Considere a região R entre as curvas
y = 1/x² e y = 1/x, com x ≥ 1
(b) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y = 0.

Boa Prova!

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume do sólido que aparece quando giramos a região entre as curvas e em torno da reta (que é o eixo ). Para isso, vamos usar o método dos discos, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde as duas curvas se encontram. Igualamos :
Isso acontece quando , ou seja, . Como estamos considerando , o intervalo de integração vai de até onde as curvas se tornam negligenciáveis (no infinito).

Passo 3

No método dos discos, o volume é calculado integrando a área dos discos gerados pela rotação. A fórmula geral é:
Aqui, é a função mais externa e a mais interna em relação ao eixo de rotação.

Passo 4

No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo , as funções e representam as distâncias dos discos ao eixo. Observando que para , temos:

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Integramos termo a termo:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Multiplicamos o resultado pela para obter o volume:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados