Dada a Função abaixo:
f(x) = 2x^3 - x^2, f(x) = -x^3 - 2x^2 + 2, f(x) = x^4/4 - x^3
a. Determine seus Pontos Críticos.
b. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.

Passo 1

Tá, vamos lá! Você me passou uma função e algumas perguntas sobre ela. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com derivadas, pra descobrir coisas como pontos críticos, onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade e até esboçar o gráfico. Vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus comportamentos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender qual é a função que estamos analisando. Pelo que você enviou, parece que temos três expressões diferentes para . Vou considerar a última, que é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os Pontos Críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada .

Passo 4

Calculando a primeira derivada:

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero e resolvemos para :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 6

Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso depende do sinal da primeira derivada :
  • Se , a função está crescendo.
  • Se , a função está decrescendo.
Vamos dividir a reta real nos pontos críticos e e testar o sinal de em cada intervalo.

Passo 7

Intervalo :
Escolha :
Então, está decrescendo nesse intervalo.
Intervalo :
Escolha :
Ainda decrescendo.
Intervalo :
Escolha :
Agora, está crescendo nesse intervalo.

Passo 8

Vamos usar o Teste da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e mínimo:
  • Se a derivada muda de positiva para negativa em um ponto crítico, é um máximo local.
  • Se a derivada muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
Vamos analisar os pontos críticos e .

Passo 9

Ponto Crítico :
Antes de ( ):
Depois de ( ):
A derivada não muda de sinal, então não é nem máximo nem mínimo.
Ponto Crítico :
Antes de ( ):
Depois de ( ):
A derivada muda de negativa para positiva, então é um mínimo local.

Passo 10

Agora, vamos determinar os Pontos de Inflexão. Esses pontos são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada :

Passo 11

Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos a zero e resolvemos para :
Então, os possíveis pontos de inflexão são e .

Passo 12

Vamos verificar se realmente são pontos de inflexão, analisando o sinal de em torno desses pontos.
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Intervalo :
Escolha :
Então, a concavidade muda em e , confirmando que são pontos de inflexão.

Passo 13

Por último, vamos analisar os intervalos de concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , é côncava para baixo.
Com base nos testes anteriores:
  • Côncava para cima: e
  • Côncava para baixo:

Resposta

A função possui:
a. Pontos Críticos: e .
b. Intervalos de Crescimento: ; Decrescimento: .
c. Mínimo Local: Em .
d. Pontos de Inflexão: e .
e. Intervalos de Concavidade: Côncava para cima: e ; Côncava para baixo: .
f. Esboço do Gráfico: Com base nas análises, o gráfico tem um mínimo em , é decrescente até esse ponto, cresce depois, possui pontos de inflexão em e , e muda a concavidade conforme os intervalos identificados.

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