Dada a Função abaixo:
a. Determine seus Pontos Críticos.
b. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.
b. Analise os intervalos de crescimento e decrescimento da Função.
c. Use o Testes da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e/ou mínimo da Função.
d. Determine os Pontos de Inflexão do gráfico da Função.
e. Analise os intervalos de concavidade do Gráfico da Função.
f. Esboce o Gráfico da Função.
Passo 1
Tá, vamos lá! Você me passou uma função e algumas perguntas sobre ela. A gente vai trabalhar com cálculo, especificamente com derivadas, pra descobrir coisas como pontos críticos, onde a função cresce ou decresce, máximos e mínimos, pontos de inflexão, concavidade e até esboçar o gráfico. Vamos precisar calcular as derivadas da função e analisar seus comportamentos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender qual é a função que estamos analisando. Pelo que você enviou, parece que temos três expressões diferentes para
. Vou considerar a última, que é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os Pontos Críticos da função. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada
.
Passo 4
Calculando a primeira derivada:
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 6
Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Isso depende do sinal da primeira derivada
:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
Vamos dividir a reta real nos pontos críticos
e
e testar o sinal de
em cada intervalo.
Passo 7
Intervalo
:
Escolha
:
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
Intervalo
:
Escolha
:
Ainda decrescendo.
Intervalo
:
Escolha
:
Agora,
está crescendo nesse intervalo.
Passo 8
Vamos usar o Teste da Primeira Derivada para determinar os pontos de máximo e mínimo:
- Se a derivada muda de positiva para negativa em um ponto crítico, é um máximo local.
- Se a derivada muda de negativa para positiva, é um mínimo local.
Vamos analisar os pontos críticos
e
.
Passo 9
Ponto Crítico
:
Antes de
(
):
Depois de (
):
Depois de
A derivada não muda de sinal, então
não é nem máximo nem mínimo.
Ponto Crítico
:
Antes de
(
):
Depois de (
):
Depois de
A derivada muda de negativa para positiva, então
é um mínimo local.
Passo 10
Agora, vamos determinar os Pontos de Inflexão. Esses pontos são onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Primeiro, vamos calcular a segunda derivada
:
Passo 11
Para encontrar os pontos de inflexão, igualamos
a zero e resolvemos para
:
Então, os possíveis pontos de inflexão são
e
.
Passo 12
Vamos verificar se realmente são pontos de inflexão, analisando o sinal de
em torno desses pontos.
Intervalo
:
Escolha
:
Intervalo
:
Escolha
:
Intervalo
:
Escolha
:
Então, a concavidade muda em
e
, confirmando que são pontos de inflexão.
Passo 13
Por último, vamos analisar os intervalos de concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, é côncava para baixo.
Com base nos testes anteriores:
- Côncava para cima:
e - Côncava para baixo:
Resposta
A função
possui:
a. Pontos Críticos:
e
.
b. Intervalos de Crescimento:
; Decrescimento:
.
c. Mínimo Local: Em
.
d. Pontos de Inflexão:
e
.
e. Intervalos de Concavidade: Côncava para cima:
e
; Côncava para baixo:
.
f. Esboço do Gráfico: Com base nas análises, o gráfico tem um mínimo em
, é decrescente até esse ponto, cresce depois, possui pontos de inflexão em
e
, e muda a concavidade conforme os intervalos identificados.