Calcule se possivel, os limites abaixo:
i) lim (x, y) (0,0) tan (x^2+y^2)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (0,0) tan (x^2+y^2). Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis e vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar propriedades das funções trigonométricas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece dentro da função tangente. Quando (x, y) se aproxima de (0,0), x^2 + y^2 também se aproxima de 0. Sabemos que quando o ângulo na tangente é pequeno, tan(z) approx z. Isso significa que quando x^2 + y^2 é próximo de 0, tan(x^2 + y^2) será aproximadamente igual a x^2 + y^2.

Passo 3

Com isso, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
lim (x, y) (0,0) tan (x^2+y^2) approx lim (x, y) (0,0) (x^2 + y^2)
Agora, precisamos calcular o limite de x^2 + y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0).

Passo 4

Sabemos que x^2 e y^2 são sempre positivos ou zero. Assim, conforme x e y se aproximam de 0, x^2 + y^2 também se aproxima de 0. Portanto:
lim (x, y) (0,0) (x^2 + y^2) = 0

Resposta

O limite é 0.

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