(ENADE) Considere a função
definida por
, para cada
. A área da região limitada pelo gráfico da função
, o eixo
e as retas
e
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e queremos encontrar a área da região que fica delimitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo
(que é o eixo horizontal), e pelas retas verticais
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área entre a curva e o eixo
. Basicamente, a área pode ser encontrada integrando a função
de
até
. A integral vai nos dar a soma de todas as pequenas áreas infinitesimais sob a curva nesse intervalo.
Passo 3
Antes de integrar, é importante verificar se a função está acima ou abaixo do eixo
no intervalo de
a
. Vamos avaliar
e
:
Vemos que em
,
(acima do eixo), e em
,
(no eixo). Vamos conferir o comportamento entre esses pontos. Se a função ficar sempre acima do eixo, podemos integrar diretamente. Se não, teremos que considerar onde a função cruza o eixo
.
Passo 4
Vamos encontrar onde a função cruza o eixo
resolvendo
:
Podemos fazer uma substituição: seja
, então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então,
ou
, o que significa que
ou
. Portanto, as soluções são
e
.
Dentro do intervalo
, a função cruza o eixo
em
e
. Isso indica que a função está acima do eixo de
até
e abaixo de
até
.
Passo 5
Como a função muda de sinal no intervalo, vamos dividir a integral em duas partes:
- De
a , está acima do eixo . - De
a , está abaixo do eixo .
A área total será:
A gente subtrai a segunda integral porque a função está abaixo do eixo, então a área é positiva.
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
Primeiro, a integral de
:
Agora, calculando cada parte:
Para
:
Calculando os valores:
Para
:
Calculando os valores:
Como a área não pode ser negativa, já consideramos o sinal na equação anterior.
Resposta
Assim, a área da região delimitada é:
Então, a área procurada é igual a 4 unidades de área.