(ENADE) Considere a função f: R -> R definida por y = f(x) = x^4 - 5*x^2 + 4, para cada x em R. A área da região limitada pelo gráfico da função y = f(x), o eixo O x e as retas x = 0 e x = 2 é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e queremos encontrar a área da região que fica delimitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo (que é o eixo horizontal), e pelas retas verticais e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área entre a curva e o eixo . Basicamente, a área pode ser encontrada integrando a função de até . A integral vai nos dar a soma de todas as pequenas áreas infinitesimais sob a curva nesse intervalo.

Passo 3

Antes de integrar, é importante verificar se a função está acima ou abaixo do eixo no intervalo de a . Vamos avaliar e :
Vemos que em , (acima do eixo), e em , (no eixo). Vamos conferir o comportamento entre esses pontos. Se a função ficar sempre acima do eixo, podemos integrar diretamente. Se não, teremos que considerar onde a função cruza o eixo .

Passo 4

Vamos encontrar onde a função cruza o eixo resolvendo :
Podemos fazer uma substituição: seja , então a equação fica:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, ou , o que significa que ou . Portanto, as soluções são e .
Dentro do intervalo , a função cruza o eixo em e . Isso indica que a função está acima do eixo de até e abaixo de até .

Passo 5

Como a função muda de sinal no intervalo, vamos dividir a integral em duas partes:
  1. De a , está acima do eixo .
  2. De a , está abaixo do eixo .
A área total será:
Á
A gente subtrai a segunda integral porque a função está abaixo do eixo, então a área é positiva.

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
Primeiro, a integral de :
Agora, calculando cada parte:
Para :
Calculando os valores:
Para :
Calculando os valores:
Como a área não pode ser negativa, já consideramos o sinal na equação anterior.

Resposta

Assim, a área da região delimitada é:
Á
Então, a área procurada é igual a 4 unidades de área.

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