Enunciado Questão 8
A análise de superfícies paramétricas no espaço tridimensional requer compreensão detalhada de geometria e cálculo. Considere a superfície paramétrica S(u, v) = (u cos(v), u sen(v), v), para os intervalos 0 <= u <= 1 e 0 <= v <= 2 pi. Analise as propriedades geométricas desta superfície, incluindo a forma geral, a variação do raio ao longo da superfície e a natureza da curvatura ao longo dos eixos u e v.
Com base na sua análise, qual das seguintes alternativas melhor descreve a superfície S ?
Alternativas
A) A superfície S forma uma hélice ascendente com raio constante e curvatura uniforme ao longo do eixo V.
B) A superfície S descreve um cone com variação linear de raio ao longo do eixo U e curvatura constante ao longo do eixo V.
C) A superfície S cria uma esfera de raio 1 , com curvatura variando de acordo com os valores de U e V.
D) A superfície S apresenta uma hélice cilíndrica com raio variável, onde a curvatura aumenta com o aumento de U e a altura é proporcional a V.
E) A superfície S forma um toroide, com raio variável em função de U e uma seção transversal circular ao longo do eixo V.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície paramétrica no espaço tridimensional definida por onde e . O conteúdo envolvido aqui inclui geometria analítica e cálculo, especialmente noções de superfícies paramétricas, variação de raio e curvatura. Para resolver, vamos analisar a forma geral da superfície, como o raio varia ao longo dela e a natureza da curvatura nos eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma geral da superfície . Cada ponto na superfície é dado por .
  • Componentes e : e representam coordenadas polares no plano , onde é o raio e é o ângulo.
  • Componente : indica que, conforme varia, a altura aumenta linearmente.
Isso sugere que, para cada valor fixo de , varia de a , formando um círculo no plano com raio , enquanto aumenta à medida que percorremos o círculo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a variação do raio ao longo da superfície. O parâmetro varia de a , o que significa que o raio dos círculos no plano aumenta linearmente de a à medida que aumenta. Isso indica que a superfície não mantém um raio constante, mas sim que o raio varia proporcionalmente ao parâmetro .

Passo 4

Em seguida, vamos examinar a natureza da curvatura ao longo dos eixos e :
  • Curvatura ao longo de : Para um valor fixo de , ao variar , traçamos um círculo no plano . A curvatura desse movimento é constante e está relacionada ao raio .
  • Curvatura ao longo de : Conforme varia, o raio do círculo aumenta, e a trajetória no espaço tridimensional forma uma hélice. A curvatura dessa hélice depende de , aumentando à medida que aumenta.

Passo 5

Com base nas análises anteriores, podemos comparar com as alternativas fornecidas:
  • A) Fala de raio constante, o que não é o caso.
  • B) Menciona um cone, mas a forma não corresponde.
  • C) Fala de esfera, o que não se aplica.
  • D) Descreve uma hélice cilíndrica com raio variável e curvatura que aumenta com , além de altura proporcional a , o que corresponde exatamente à nossa análise.
  • E) Menciona toroide, que também não corresponde.

Resposta

A alternativa que melhor descreve a superfície é a Alternativa D.

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