Enunciado Questão 8
A análise de superfícies paramétricas no espaço tridimensional requer compreensão detalhada de geometria e cálculo. Considere a superfície paramétrica
, para os intervalos
. Analise as propriedades geométricas desta superfície, incluindo a forma geral, a variação do raio ao longo da superfície e a natureza da curvatura ao longo dos eixos
e
.
Com base na sua análise, qual das seguintes alternativas melhor descreve a superfície
Alternativas
A) A superfície
forma uma hélice ascendente com raio constante e curvatura uniforme ao longo do eixo
.
B) A superfície
descreve um cone com variação linear de raio ao longo do eixo
e curvatura constante ao longo do eixo
.
C) A superfície
cria uma esfera de raio 1 , com curvatura variando de acordo com os valores de
e
.
D) A superfície
apresenta uma hélice cilíndrica com raio variável, onde a curvatura aumenta com o aumento de
e a altura é proporcional a
.
E) A superfície
forma um toroide, com raio variável em função de
e uma seção transversal circular ao longo do eixo
.
A análise de superfícies paramétricas no espaço tridimensional requer compreensão detalhada de geometria e cálculo. Considere a superfície paramétrica
Com base na sua análise, qual das seguintes alternativas melhor descreve a superfície
Alternativas
A) A superfície
B) A superfície
C) A superfície
D) A superfície
E) A superfície
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície paramétrica no espaço tridimensional definida por
onde
e
. O conteúdo envolvido aqui inclui geometria analítica e cálculo, especialmente noções de superfícies paramétricas, variação de raio e curvatura. Para resolver, vamos analisar a forma geral da superfície, como o raio varia ao longo dela e a natureza da curvatura nos eixos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma geral da superfície
. Cada ponto na superfície é dado por
.
- Componentes
e : e representam coordenadas polares no plano , onde é o raio e é o ângulo. - Componente
: indica que, conforme varia, a altura aumenta linearmente.
Isso sugere que, para cada valor fixo de
,
varia de
a
, formando um círculo no plano
com raio
, enquanto
aumenta à medida que percorremos o círculo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a variação do raio ao longo da superfície. O parâmetro
varia de
a
, o que significa que o raio dos círculos no plano
aumenta linearmente de
a
à medida que
aumenta. Isso indica que a superfície não mantém um raio constante, mas sim que o raio varia proporcionalmente ao parâmetro
.
Passo 4
Em seguida, vamos examinar a natureza da curvatura ao longo dos eixos
e
:
-
Curvatura ao longo de
: Para um valor fixo de , ao variar , traçamos um círculo no plano . A curvatura desse movimento é constante e está relacionada ao raio . -
Curvatura ao longo de
: Conforme varia, o raio do círculo aumenta, e a trajetória no espaço tridimensional forma uma hélice. A curvatura dessa hélice depende de , aumentando à medida que aumenta.
Passo 5
Com base nas análises anteriores, podemos comparar com as alternativas fornecidas:
- A) Fala de raio constante, o que não é o caso.
- B) Menciona um cone, mas a forma não corresponde.
- C) Fala de esfera, o que não se aplica.
- D) Descreve uma hélice cilíndrica com raio variável e curvatura que aumenta com
, além de altura proporcional a , o que corresponde exatamente à nossa análise. - E) Menciona toroide, que também não corresponde.
Resposta
A alternativa que melhor descreve a superfície
é a Alternativa D.