Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x 0(1+5 x)^4x

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0(1+5 x)^4x. Esse problema envolve o estudo de limites que resultam em uma expressão exponencial. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades de limites e logaritmos, que nos ajudarão a simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a expressão (1 + 5x)^4x é semelhante à fórmula conhecida limx to 0 (1 + kx)^1x = e^k. No nosso caso, temos um expoente um pouco diferente, mas podemos adaptá-lo para usar essa propriedade.

Passo 3

Vamos reescrever o limite de uma forma que facilite a aplicação da propriedade mencionada:
lim x 0(1+5 x)^4x = ( lim x 0(1+5x)^1x )^4
Aqui, extraímos o 4 como potência externa.

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade do limite conhecido:
lim x 0(1+5x)^1x = e^5
Isso porque, quando x tende a 0, (1 + kx)^1x se aproxima de e^k.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão original, temos:
( lim x 0(1+5x)^1x )^4 = ( e^5 )^4 = e^20

Resposta

O limite é e^20.

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