A função
é decrescente para
. Se
é a função inversa de
neste intervalo, encontre
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
que é decrescente no intervalo
. A gente precisa achar a derivada da função inversa de
nesse intervalo quando
, ou seja,
. Para isso, vamos usar conhecimentos de função inversa e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
que faz
dentro do intervalo dado. Isso significa resolver a equação:
Podemos fatorar
:
Então, as soluções são
ou
. Mas como o intervalo é
, apenas
está dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da função
, ou seja,
. Vamos fazer isso:
Então, a derivada de
é
.
Passo 4
Para encontrar a derivada da função inversa
em
, usamos a fórmula da derivada da função inversa:
onde
é tal que
. No nosso caso,
e encontramos que
.
Então, vamos substituir
na derivada de
:
Agora, aplicamos na fórmula da função inversa:
Resposta
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Calcule, se possível, os seguintes limites:
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