A função é decrescente para . Se é a função inversa de neste intervalo, encontre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função que é decrescente no intervalo . A gente precisa achar a derivada da função inversa de nesse intervalo quando , ou seja, . Para isso, vamos usar conhecimentos de função inversa e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de que faz dentro do intervalo dado. Isso significa resolver a equação:
Podemos fatorar :
Então, as soluções são ou . Mas como o intervalo é , apenas está dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da função , ou seja, . Vamos fazer isso:
Então, a derivada de é .

Passo 4

Para encontrar a derivada da função inversa em , usamos a fórmula da derivada da função inversa:
onde é tal que . No nosso caso, e encontramos que .
Então, vamos substituir na derivada de :
Agora, aplicamos na fórmula da função inversa:

Resposta

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Utilizando derivação implícita, determine :
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Calcule, se possível, os seguintes limites:
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