Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x -infty(1+1x)^x+5

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com limites de funções exponenciais, e para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite usando o logaritmo natural, que ajuda a simplificar expressões exponenciais. Sabemos que se , então .

Passo 3

Agora, analisamos o que acontece dentro do logaritmo. Quando tende a menos infinito, se aproxima de 0. Então, pode ser aproximado usando a expansão de Taylor: para próximo de 0. Assim, .

Passo 4

Substituindo essa aproximação no limite, temos:
ln(L) approx limx to -infty (x + 5) cdot 1x
Isso simplifica para:
ln(L) approx limx to -infty (1 + 5x)

Passo 5

Agora, avaliamos o limite ln(L) = 1 . Como tende a 0 quando tende a menos infinito, o limite é:

Passo 6

Para encontrar L = e^1 = e , levantamos à potência de ambos os lados da equação :

Resposta

O limite é igual a .

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