Determine a derivada de cada função a seguir: f(x) = ln(2 x) arcsen(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivada de funções compostas. Precisamos saber como derivar o logaritmo natural e a função arco seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada é dada por:
Então, vamos identificar e na nossa função.

Passo 3

Aqui, podemos dizer que:
Agora, precisamos encontrar as derivadas e .

Passo 4

Vamos começar com . A derivada do logaritmo natural é:
Aqui, , então . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Lembrando que:
Aqui, , então . Então:

Passo 6

Agora que temos e , podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo:

Resposta

A derivada da função é:

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