Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a derivada da função . A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a regra do produto e a derivada de funções compostas. Precisamos saber como derivar o logaritmo natural e a função arco seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto. Quando temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, a derivada
é dada por:
Então, vamos identificar
e
na nossa função.
Passo 3
Aqui, podemos dizer que:
Agora, precisamos encontrar as derivadas
e
.
Passo 4
Vamos começar com
. A derivada do logaritmo natural é:
Aqui,
, então
. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar . Lembrando que:
Aqui,
, então
. Então:
Passo 6
Agora que temos
e
, podemos aplicar a regra do produto:
Substituindo:
Resposta
A derivada da função é: