Calcule, se possível, os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de cálculo de limites, mais especificamente lidando com formas indeterminadas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como lidar com expressões que se aproximam de uma forma do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que acontece com a expressão quando
se aproxima de 0. Se substituirmos diretamente, temos:
Essa é uma forma indeterminada, ou seja, não sabemos diretamente qual é o limite. Para resolver, vamos transformar a expressão usando logaritmos.
Passo 3
Vamos chamar o limite de
:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar os cálculos:
Passo 4
Para resolver o limite acima, lembramos que, quando
é próximo de 0,
. Aplicando isso:
Substituindo na expressão do limite:
Resposta
Agora que encontramos
, voltamos para a expressão original elevando
ao resultado:
Portanto, o limite é
.
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Utilizando derivação implícita, determine
: