Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x 0(1+5 x)^4x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de cálculo de limites, mais especificamente lidando com formas indeterminadas. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de logaritmos e exponenciais, além de entender como lidar com expressões que se aproximam de uma forma do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que acontece com a expressão quando (1 + 5 cdot 0)^40 = 1^infty se aproxima de 0. Se substituirmos diretamente, temos:
Essa é uma forma indeterminada, ou seja, não sabemos diretamente qual é o limite. Para resolver, vamos transformar a expressão usando logaritmos.

Passo 3

Vamos chamar o limite de L = limx to 0 (1 + 5x)^4x :
ln L = limx to 0 4x cdot ln(1 + 5x)
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para facilitar os cálculos:

Passo 4

Para resolver o limite acima, lembramos que, quando ln(1 + 5x) approx 5x é próximo de 0, ln L = limx to 0 4x cdot 5x = limx to 0 20 = 20 . Aplicando isso:
Substituindo na expressão do limite:

Resposta

Agora que encontramos L = e^20 , voltamos para a expressão original elevando ao resultado:
Portanto, o limite é .

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