Utilizando derivação implícita, determine
:
Passo 1
Beleza, então a gente tem o seguinte problema: Utilizando derivação implícita, determine
para a equação
. A gente vai usar o conceito de derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando
está misturado com
na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde
está ligada a
de forma que não dá pra isolar
facilmente, a derivação implícita nos ajuda a encontrar
sem precisar resolver
em função de
. A ideia é derivar os dois lados da equação em relação a
.
Passo 3
Vamos derivar cada termo da equação
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . - Então,
.
- Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de
-
Derivada de
em relação a : - Aqui também usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a . - Então,
.
- Aqui também usamos a regra da cadeia. A derivada de
-
Derivada de
em relação a é .
Passo 4
Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar esse termo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Podemos simplificar ou deixar a resposta assim mesmo. Se preferir, podemos expressar
em termos de
a partir da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A derivada
é:
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Determine a derivada de cada função a seguir:
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
.
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).