Utilizando derivação implícita, determine :

Passo 1

Beleza, então a gente tem o seguinte problema: Utilizando derivação implícita, determine para a equação . A gente vai usar o conceito de derivação implícita, que é uma técnica para encontrar a derivada quando está misturado com na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação onde está ligada a de forma que não dá pra isolar facilmente, a derivação implícita nos ajuda a encontrar sem precisar resolver em função de . A ideia é derivar os dois lados da equação em relação a .

Passo 3

Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Usamos a regra da cadeia aqui. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
    • Então, .
  2. Derivada de em relação a :
    • Aqui também usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
    • Então, .
  3. Derivada de em relação a é .

Passo 4

Agora, juntando todas as derivadas, temos:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar esse termo:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Podemos simplificar ou deixar a resposta assim mesmo. Se preferir, podemos expressar em termos de a partir da equação original:
Substituindo na expressão de :

Resposta

A derivada é:

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Determine a derivada de cada função a seguir:
Calcule, se possível, os seguintes limites:
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: .
Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).