Determine a derivada de cada função a seguir: f(x) = sen(x) arcsec(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer a derivada da função arcsecante. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra do produto: se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja, , a derivada dela é . Isso significa que a gente precisa derivar cada parte separadamente e depois combinar.

Passo 3

Vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas:
Precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, derivamos . A derivada de seno é cosseno, então:

Passo 5

Agora, vamos derivar . Para isso, precisamos lembrar da derivada da função arcsecante. A fórmula é:
No nosso caso, , então . Substituindo na fórmula:
Como estamos considerando o domínio onde está definido, é positivo, então . Portanto:

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a regra do produto:
Substituindo:

Resposta

A derivada da função é:

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