Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, vamos precisar usar a regra do produto e conhecer a derivada da função arcsecante. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra do produto: se temos uma função que é o produto de duas funções, ou seja,
, a derivada dela é
. Isso significa que a gente precisa derivar cada parte separadamente e depois combinar.
Passo 3
Vamos identificar as duas funções que estão multiplicadas:
Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, derivamos . A derivada de seno é cosseno, então:
Passo 5
Agora, vamos derivar . Para isso, precisamos lembrar da derivada da função arcsecante. A fórmula é:
No nosso caso,
, então
. Substituindo na fórmula:
Como estamos considerando o domínio onde está definido,
é positivo, então
. Portanto:
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a regra do produto:
Substituindo:
Resposta
A derivada da função é: