Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x -infty(1+1x)^x+5

Passo 1

Estamos com o limite . Vamos trabalhar com limites na matéria de Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver, vamos precisar entender como as funções se comportam quando tende a menos infinito e aplicar propriedades dos limites e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando logaritmos. Se chamarmos o limite de L = lim x -infty(1+1x)^x+5 , temos:
ln(L) = lim x -infty (x + 5) cdot ln(1+1x)
Tiramos o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo ln(1 + y) approx y - y^22 quando ln(1+1x) approx 1x - 12x^2 . Sabemos que para ,
Aplicando isso com :

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão para ln(L) approx lim x -infty (x + 5) ( 1x - 12x^2 ) :
ln(L) approx lim x -infty ( xx + 5x - 12x - 52x^2 )
Distribuindo:
ln(L) approx lim x -infty ( 1 + 5 - 12x - 52x^2 )
Simplificando:

Passo 5

Quando ln(L) = 1 , os termos e tendem a zero. Portanto:

Passo 6

Agora, para encontrar L = e^ln(L) = e^1 = e , aplicamos a função exponencial dos dois lados:

Resposta

O limite é igual a .

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