Determine a derivada de cada função a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos utilizar o regra do quociente e a regra da cadeia, que são técnicas de derivação necessárias para lidar com funções que são divisões e composições de outras funções.
Passo 2
Primeiro, identificamos as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Aqui,
é o numerador e
é o denominador. A regra do quociente nos diz que a derivada de
é dada por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
:
-
Derivada de
: - Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
é . - Aqui,
, então . - Portanto,
.
- Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de
-
Derivada de
: - A derivada de
é . - Aqui,
, então .
- A derivada de
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da regra do quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
- Observe que
está presente em todos os termos do numerador e que . - Fatorando
no numerador:
- Simplificando
:
- Podemos reescrever
como para deixar a expressão mais clara:
Resposta
A derivada da função é:
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Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
.
Determine a derivada de cada função a seguir:
Calcule, se possível, os seguintes limites: