Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Para isso, vamos utilizar o regra do quociente e a regra da cadeia, que são técnicas de derivação necessárias para lidar com funções que são divisões e composições de outras funções.

Passo 2

Primeiro, identificamos as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. Aqui, é o numerador e é o denominador. A regra do quociente nos diz que a derivada de é dada por:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de e :
  1. Derivada de :
    • Aplicamos a regra da cadeia. A derivada de é .
    • Aqui, , então .
    • Portanto, .
  2. Derivada de :
    • A derivada de é .
    • Aqui, , então .

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
  1. Observe que está presente em todos os termos do numerador e que .
  2. Fatorando no numerador:
  1. Simplificando :
  1. Podemos reescrever como para deixar a expressão mais clara:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Esboce os gráficos das funções a seguir indicando: o domínio, as interseções com os eixos (se houver), as assíntotas (se houver), os pontos críticos (se houver), os intervalos de crescimento e decrescimento, os extremos relativos (se houver), os intervalos onde o gráfico possui concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão (se houver).
Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado: .
Determine a derivada de cada função a seguir:
Calcule, se possível, os seguintes limites: