Calcule, se possível, os seguintes limites: lim x +infty(x+3x+2)^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando vai para mais infinito da expressão . Esse tipo de problema envolve limites no infinito e funções exponenciais, então vamos usar essas ideias para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro do limite. Observa que quando x + 3x + 2 = x(1 + 3x)x(1 + 2x) = 1 + 3x1 + 2x é muito grande, os termos constantes (como 3 e 2) têm pouca influência comparados com . Então:

Passo 3

Agora, quando 1 + 01 + 0 = 1 tende ao infinito, limx to infty (1 + ax)^x = e^a e tendem a zero. Então a fração fica próxima de:
Mas temos que a expressão inteira está elevada a , que também vai para o infinito. Então, estamos lidando com uma forma do tipo , que é indeterminada. Para resolver isso, vamos usar o limite exponencial:

Passo 4

Vamos reescrever nossa fração para encaixar nessa fórmula. Observamos que:
1 + 3x1 + 2x = 1 + 1x + 2
Mas para facilitar, podemos aproximar quando x + 3x + 2 approx 1 + 1x é muito grande:

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do limite exponencial:
limx to infty (1 + 1x)^x = e^1 = e

Resposta

O limite é .

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