Determine a derivada de cada função a seguir:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a regra da cadeia e as derivadas das funções logarítmicas e trigonométricas. Vamos precisar saber como derivar a função logarítmica natural ( ) e as funções seno ( ) e cosseno ( ).

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função composta, onde temos o logaritmo natural aplicado a uma soma de funções trigonométricas. Para derivar essa função, aplicamos a regra da cadeia, que nos diz que a derivada de uma função composta é , onde é uma função de .

Passo 3

Vamos definir . Agora precisamos encontrar a derivada de em relação a . Sabemos que a derivada de é e a derivada de é . Portanto:

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:

Resposta

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Calcule, se possível, os seguintes limites:
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