Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) sumn=2^infty 2^-4 n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série e dizer se ela é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries geométricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização. A expressão sumn=2^infty (2^-4)^n pode ser escrita como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, lembrando da série geométrica padrão:
sumn=0^infty ar^n = a1 - r (se |r| < 1)
Onde:
  • é o primeiro termo da série
  • é a razão da série
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar para usar a fórmula.

Passo 4

Identificando os valores:
  • O primeiro termo para é

Passo 5

Para ajustar a série que começa em sumn=2^infty (116)^n = sumn=0^infty (116)^n - (116)^0 - (116)^1 , podemos reescrever:
sumn=2^infty (116)^n = 11 - 116 - 1 - 116
Simplificando:

Passo 6

Calculando cada parte:
11 - 116 = 11516 = 1615
Então:
1615 - 1 - 116 = 1615 - 1515 - 116 = 115 - 116

Passo 7

Para subtrair 16240 - 15240 = 1240 , achamos o denominador comum:

Passo 8

Portanto, a soma da série é .

Passo 9

Como encontramos uma soma finita, a série é convergente.

Resposta

A soma da série é e a série é convergente.

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