Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série e dizer se ela é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries geométricas para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização. A expressão pode ser escrita como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, lembrando da série geométrica padrão:
Onde:
  • é o primeiro termo da série
  • é a razão da série
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar para usar a fórmula.

Passo 4

Identificando os valores:
  • O primeiro termo para é

Passo 5

Para ajustar a série que começa em , podemos reescrever:
Simplificando:

Passo 6

Calculando cada parte:
Então:

Passo 7

Para subtrair , achamos o denominador comum:

Passo 8

Portanto, a soma da série é .

Passo 9

Como encontramos uma soma finita, a série é convergente.

Resposta

A soma da série é e a série é convergente.

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f)
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Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .