Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а)
.
а)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a soma da série
e dizer se ela é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de séries geométricas para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série para facilitar a visualização. A expressão
pode ser escrita como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, lembrando da série geométrica padrão:
Onde:
-
é o primeiro termo da série -
é a razão da série
No nosso caso, a série começa em
, então precisamos ajustar para usar a fórmula.
Passo 4
Identificando os valores:
-
- O primeiro termo para
é
Passo 5
Para ajustar a série que começa em
, podemos reescrever:
Simplificando:
Passo 6
Calculando cada parte:
Então:
Passo 7
Para subtrair
, achamos o denominador comum:
Passo 8
Portanto, a soma da série é
.
Passo 9
Como encontramos uma soma finita, a série é convergente.
Resposta
A soma da série
é
e a série é convergente.
Exercícios relacionados
Encontre a expressão apropriada de
para que
.
Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
f)
f)
Para quais valores das constantes
e
que tornarão o campo
é conservativo?
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
b) .
b)