Determine se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, encontre uma função potencial escalar para
.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o campo vetorial dado é conservativo. Se for, a gente também precisa encontrar uma função potencial escalar para ele. Isso tudo faz parte do estudo de Campos Vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar saber o que é um campo conservativo e como calcular o potencial escalar utilizando derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo vetorial F é conservativo se existir uma função escalar φ tal que F é o gradiente de φ, ou seja:
Isso implica que o campo não depende do caminho tomado, apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Uma condição importante para que um campo vetorial seja conservativo é que o seu rotacional seja zero. O rotacional de F, denotado por
, deve satisfazer:
Então, vamos calcular o rotacional do campo vetorial dado:
Passo 4
Para calcular o rotacional, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente:
Componente
:
Componente
:
Componente
:
Passo 5
Então, juntando tudo, temos que:
Como o rotacional de F é zero, o campo vetorial F é conservativo.
Passo 6
Agora que sabemos que F é conservativo, vamos encontrar a função potencial escalar φ tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
:
Onde
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 7
Agora, vamos usar a segunda equação:
Derivando nossa expressão de
:
Igualando às duas expressões:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 8
Agora, vamos usar a terceira equação:
Derivando nossa expressão de
:
Igualando às duas expressões:
Isso implica que:
Onde
é uma constante.
Resposta
Assim, a função potencial escalar para o campo vetorial F é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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ao longo da curva
.
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para que
.
Calcule, se possível, a soma das seguintes séries. A série é convergente ou divergente?
а) .
а)