Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite aí! O enunciado pede pra calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão:
Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e análise de indeterminações pra chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Note que:
Então, o denominador fica:
Agora, a expressão completa é:
Passo 3
Vamos analisar cada termo do numerador:
E no denominador, temos
.
Quando
se aproxima de
, tanto
quanto
vão para zero. Então, precisamos ver qual termo “domina” nessa expressão.
Passo 4
Primeiro, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Agora, vamos analisar cada fração separadamente.
Passo 5
Para a primeira fração:
Podemos perceber que, no denominador,
e
são positivos e vão para zero. Como
tende a zero mais rápido que
, o denominador é aproximadamente
.
Então, a fração fica aproximadamente:
Quando
,
e
. Logo, essa fração tende a zero.
Passo 6
Para a segunda fração:
Usando a mesma lógica, o denominador é aproximadamente
, então:
Aqui,
e
, mas
tende a zero mais rápido que
, então essa fração também tende a zero.
Passo 7
Somando as duas frações que tendem a zero:
Resposta
O limite é igual a 0.
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Sendo
.
a) Exprima em função de
.
a) Exprima
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Dada a sequência na forma
, encontrar
nos seguintes casos:
b)
b)