Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta. lim (x, y) (3,0) (x-3)^5 y^2+(x-3)^4 y^4(x^2-6 x+9+y^6)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí! O enunciado pede pra calcular o limite quando lim (x, y) (3,0) (x-3)^5 y^2+(x-3)^4 y^4(x^2-6 x+9+y^6)^3 se aproxima de da expressão:
Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e análise de indeterminações pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Note que:
x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
Então, o denominador fica:
((x - 3)^2 + y^6)^3
Agora, a expressão completa é:
(x-3)^5 y^2 + (x-3)^4 y^4((x - 3)^2 + y^6)^3

Passo 3

Vamos analisar cada termo do numerador:
E no denominador, temos .
Quando se aproxima de , tanto quanto vão para zero. Então, precisamos ver qual termo “domina” nessa expressão.

Passo 4

Primeiro, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
(x-3)^5 y^2((x - 3)^2 + y^6)^3 + (x-3)^4 y^4((x - 3)^2 + y^6)^3
Agora, vamos analisar cada fração separadamente.

Passo 5

Para a primeira fração:
(x-3)^5 y^2((x - 3)^2 + y^6)^3
Podemos perceber que, no denominador, (x-3)^5 y^2(x - 3)^6 = y^2(x - 3) e são positivos e vão para zero. Como tende a zero mais rápido que , o denominador é aproximadamente .
Então, a fração fica aproximadamente:
Quando , e . Logo, essa fração tende a zero.

Passo 6

Para a segunda fração:
(x-3)^4 y^4((x - 3)^2 + y^6)^3
Usando a mesma lógica, o denominador é aproximadamente (x-3)^4 y^4(x - 3)^6 = y^4(x - 3)^2 , então:
Aqui, e , mas tende a zero mais rápido que , então essa fração também tende a zero.

Passo 7

Somando as duas frações que tendem a zero:
0 + 0 = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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