Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite aí! O enunciado pede pra calcular o limite quando se aproxima de da expressão:
Vamos usar conceitos de limites multivariáveis e análise de indeterminações pra chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Note que:
Então, o denominador fica:
Agora, a expressão completa é:

Passo 3

Vamos analisar cada termo do numerador:
E no denominador, temos .
Quando se aproxima de , tanto quanto vão para zero. Então, precisamos ver qual termo “domina” nessa expressão.

Passo 4

Primeiro, simplificamos a expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Agora, vamos analisar cada fração separadamente.

Passo 5

Para a primeira fração:
Podemos perceber que, no denominador, e são positivos e vão para zero. Como tende a zero mais rápido que , o denominador é aproximadamente .
Então, a fração fica aproximadamente:
Quando , e . Logo, essa fração tende a zero.

Passo 6

Para a segunda fração:
Usando a mesma lógica, o denominador é aproximadamente , então:
Aqui, e , mas tende a zero mais rápido que , então essa fração também tende a zero.

Passo 7

Somando as duas frações que tendem a zero:

Resposta

O limite é igual a 0.

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Sendo .
a) Exprima em função de .
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Dada a sequência na forma , encontrar nos seguintes casos:
b)