Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite tridimensional:
Isso significa que queremos descobrir qual valor a expressão abaixo se aproxima quando os valores de
,
e
se aproximam de 2, 1 e 0, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites multivariáveis e manipular expressões algébricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando
se aproxima de
.
No numerador, temos
. Substituindo os valores de aproximação:
Então, o numerador se aproxima de
.
No denominador, temos
. Substituindo:
Portanto, o denominador também se aproxima de
.
Assim, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.
Passo 3
Para resolver essa forma indeterminada, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que o numerador e o denominador têm termos que se anulam quando
.
Podemos fatorar o numerador:
Isso não simplifica diretamente, então vamos considerar caminhos específicos para abordar o limite.
Passo 4
Vamos escolher um caminho específico onde
,
e
se aproximam de
,
e
de uma maneira controlada. Por exemplo, suponha que
,
e
se aproxima de
.
Substituindo esses valores:
Como
se aproxima de
, o numerador se aproxima de
e o denominador é zero, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.
Passo 5
Agora, vamos tentar outro caminho. Suponha que
,
e
, onde
,
e
se aproximam de
.
Substituindo na expressão:
Agora, se fizermos
, então:
Isso sugere que, dependendo do caminho escolhido, o limite pode ter diferentes comportamentos.
Passo 6
Como obtivemos diferentes resultados ao escolher diferentes caminhos, podemos concluir que o limite não existe. Em limites multivariáveis, para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.
Resposta
O limite não existe.
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Seja a sequência
, dada por
e
.
c) Mostre que é monótona.
c) Mostre que
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Sendo
.
a) Exprima em função de
.
a) Exprima
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.