Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta. lim (x, y, z) (2,1,0) (x+y+z-3)^5(x-2)(y-1) z^3

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite tridimensional:
lim (x, y, z) (2,1,0) (x+y+z-3)^5(x-2)(y-1) z^3
Isso significa que queremos descobrir qual valor a expressão abaixo se aproxima quando os valores de , e se aproximam de 2, 1 e 0, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites multivariáveis e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando x + y + z - 3 = 2 + 1 + 0 - 3 = 0 se aproxima de (x - 2) = 2 - 2 = 0 .
No numerador, temos (y - 1) = 1 - 1 = 0 . Substituindo os valores de aproximação:
z^3 = 0^3 = 0
Então, o numerador se aproxima de .
No denominador, temos . Substituindo:
Portanto, o denominador também se aproxima de .
Assim, temos uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que o numerador e o denominador têm termos que se anulam quando x + y + z - 3 = (x - 2) + (y - 1) + (z - 0) .
Podemos fatorar o numerador:
Isso não simplifica diretamente, então vamos considerar caminhos específicos para abordar o limite.

Passo 4

Vamos escolher um caminho específico onde (2 + 1 + z - 3)^5(2-2)(1-1) z^3 = z^50 times 0 times z^3 = z^50 , e se aproximam de , e de uma maneira controlada. Por exemplo, suponha que , e se aproxima de .
Substituindo esses valores:
Como se aproxima de , o numerador se aproxima de e o denominador é zero, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho. Suponha que (2 + h + 1 + k + l - 3)^5(2 + h - 2)(1 + k - 1) l^3 = (h + k + l)^5h cdot k cdot l^3 , (h + h + h)^5h cdot h cdot h^3 = (3h)^5h^5 = 243h^5h^5 = 243 e , onde , e se aproximam de .
Substituindo na expressão:
Agora, se fizermos , então:
Isso sugere que, dependendo do caminho escolhido, o limite pode ter diferentes comportamentos.

Passo 6

Como obtivemos diferentes resultados ao escolher diferentes caminhos, podemos concluir que o limite não existe. Em limites multivariáveis, para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe.

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