Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um limite tridimensional:
Isso significa que queremos descobrir qual valor a expressão abaixo se aproxima quando os valores de , e se aproximam de 2, 1 e 0, respectivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites multivariáveis e manipular expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente quando se aproxima de .
No numerador, temos . Substituindo os valores de aproximação:
Então, o numerador se aproxima de .
No denominador, temos . Substituindo:
Portanto, o denominador também se aproxima de .
Assim, temos uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para avaliar o limite.

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, vamos tentar simplificar a expressão. Observamos que o numerador e o denominador têm termos que se anulam quando .
Podemos fatorar o numerador:
Isso não simplifica diretamente, então vamos considerar caminhos específicos para abordar o limite.

Passo 4

Vamos escolher um caminho específico onde , e se aproximam de , e de uma maneira controlada. Por exemplo, suponha que , e se aproxima de .
Substituindo esses valores:
Como se aproxima de , o numerador se aproxima de e o denominador é zero, o que sugere que o limite pode ser infinito ou não existir.

Passo 5

Agora, vamos tentar outro caminho. Suponha que , e , onde , e se aproximam de .
Substituindo na expressão:
Agora, se fizermos , então:
Isso sugere que, dependendo do caminho escolhido, o limite pode ter diferentes comportamentos.

Passo 6

Como obtivemos diferentes resultados ao escolher diferentes caminhos, podemos concluir que o limite não existe. Em limites multivariáveis, para que o limite exista, ele deve ser o mesmo independentemente do caminho escolhido para se aproximar do ponto.

Resposta

O limite não existe.

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Seja a sequência , dada por e .
c) Mostre que é monótona.
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.
Sendo .
a) Exprima em função de .
Calcule, se possível, o valor dos limites abaixo. Justifique a sua resposta.